Question

探索、研究：儀器箱按如圖方式堆放（自下而上依次為第1層、第2層、…），受堆放條件限制，堆放時(shí)應(yīng)符合下列條件：每層堆放儀器箱的個(gè)數(shù)a_n與層數(shù)n之間滿(mǎn)足關(guān)系式a_n=n²-32n+247，1≤n＜16，n為整數(shù)．
（1）例如，當(dāng)n=2時(shí)，a₂=2²-32×2+247=187，則a₅=

 

，a₆=

 

；
（2）第n層比第（n+1）層多堆放多少個(gè)儀器箱；（用含n的代數(shù)式表示）
（3）如果不考慮儀器箱堆放所承受的壓力，請(qǐng)根據(jù)題設(shè)條件判斷儀器箱最多可以堆放幾層？并說(shuō)明理由；
（4）設(shè)每個(gè)儀器箱重54N（牛頓），每個(gè)儀器箱能承受的最大壓力為160N，并且堆放時(shí)每個(gè)儀器箱承受的壓力是均勻的．
①若儀器箱僅堆放第1、2兩層，求第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力；
②在確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放幾層？為什么？

Answer 1

分析：（1）把n=5，n=6分別代入進(jìn)行計(jì)算；
（2）方法一：分別表示出n+1和n時(shí)的代數(shù)式，然后進(jìn)行減法運(yùn)算；
方法二是通過(guò)計(jì)算幾個(gè)特殊值，找到規(guī)律，再進(jìn)一步計(jì)算；
（3）令a_n≥0進(jìn)行分析求解；
（4）①根據(jù)公式分別求得第二層和第一層的個(gè)數(shù)，再根據(jù)第二層的總重量除以第一層的個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)算；
②根據(jù)①中的方法進(jìn)行估算，求得最多可以堆放的層數(shù)．

解答：解：（1）當(dāng)n=5時(shí)，原式=25-160+247=112，
當(dāng)n=6時(shí)，則原式=36-192+247=91．（2分）

（2）方法一：a_n-a_n+1=（n²-32n+247）-[（n+1）²-32（n+1）+247]=31-2n，（3分）
即第n層比第（n+1）層多堆放（31-2n）個(gè)儀器箱．（4分）
方法二：a₁-a₂=29=31-2×1，a₂-a₃=27=31-2×2，
a₃-a₄=25=31-2×3，a₄-a₅=23=31-2×4，（3分）
由此得a_n-a_n+1=31-2n，
即第n層比第（n+1）層多堆放（31-2n）個(gè)儀器箱．（4）

（3）方法一：a_n=（n²-32n+256）+247-256=（n-16）²-9，（5分）
由題設(shè)條件，當(dāng)n≤13時(shí)，a_n≥0，
∴儀器箱最多可以堆放12層．（6分）
方法二：由a_n=n²-32n+247的圖象知：當(dāng)1≤n＜16時(shí)，a_n隨n的增大而減�。�
∵a₁₂=7＞0，a₁₃=0．
∴儀器箱最多可以堆放12層．（6分）

（4）①由題意得

(22-32×2+247)×54

12-32×1+247

=

187

4

=46.75(N)，
即第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力為46.75N．（7分）
②當(dāng)n=5時(shí)，第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力為：

(187+160+135+112)×54

216

=148.5＜160(N)
當(dāng)n=6時(shí)，第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力為：

(187+160+135+112+91)×54

216

=171.25＞160(N)
因此，該儀器箱最多可以堆放5層．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題體現(xiàn)了“估算”思想，體現(xiàn)了“優(yōu)選”思想，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題能從“中點(diǎn)”處、“黃金分割點(diǎn)”處思考，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)．此題要能夠根據(jù)所給的公式進(jìn)行分析計(jì)算．