Question

【題目】如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)C，AB交⊙O于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．

（1）若AD=DB，OC=5，求切線AC的長(zhǎng)；

（2）求證：ED是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）連接CD，由直徑所對(duì)的圓周角為直角可得：∠BDC=90°，即可得：CD⊥AB，然后根據(jù)AD=DB，進(jìn)而可得CD是AB的垂直平分線，進(jìn)而可得 AC=BC=2OC=10；

（2）連接OD，先由直角三角形中線的性質(zhì)可得DE=EC，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠1=∠2，由OD=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠3=∠4，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠2+∠4=90°，進(jìn)而可得：∠1+∠3=90°，進(jìn)而可得：DE⊥OD，從而可得：ED是⊙O的切線．

（1）解：連接CD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

即CD⊥AB，

∵AD=DB，OC=5，

∴CD是AB的垂直平分線，

∴AC=BC=2OC=10；

（2）證明：連接OD，如圖所示，

∵∠ADC=90°，E為AC的中點(diǎn)，

∴DE=EC=AC，

∴∠1=∠2，

∵OD=OC，

∴∠3=∠4，

∵AC切⊙O于點(diǎn)C，

∴AC⊥OC，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，

即DE⊥OD，

∴ED是⊙O的切線．