Question

已知，如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是CD、BC的點，若AE⊥EF，則：
①求證：△ADE∽△ECF；
②若AD=4，DE=6，CF=3，則試求EF的長度．

Answer 1

分析：（1）利用互余關系證明∠EFC=∠AED，又有∠ADE=∠FCE=90°，可證△ADE∽△ECF；
（2）由（1）的相似得CF：CE=DE：DA，可得CE的長，再根據(jù)勾股定理可求EF的長度．

解答：證明：（1）∵∠ADE=∠FCE=90°，
又∵AE⊥EF，
∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°，
又∵∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠EFC=∠AED，
∴△ADE∽△ECF；

（2）∵△ADE∽△ECF，
∴CF：CE=DE：DA，
∴6CE=3×4，
∴CE=2，
∴EF=

CE2+CF2

=

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．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質．關鍵是利用互余關系證明相似三角形．