Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，已知點(diǎn)A（，0）、D（，3），點(diǎn)B、C在第二象限內(nèi)．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo) ；

（2）將正方形ABCD以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸向右平移t秒，若存在某一時(shí)刻t，使在第一象限內(nèi)點(diǎn)B、D兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、D′正好落在某反比例函數(shù)的圖像上，請(qǐng)求出此時(shí)t的值以及這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的情況下，問是否存在y軸上的點(diǎn)P和反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)Q，使得以P、Q、B′、D′四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合題意的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（-2，1）；（2）t=4，反比例函數(shù)解析式為；

（3）當(dāng)B′D′為對(duì)角線時(shí)，，；當(dāng)B′D′為邊時(shí)，，或，

【解析】分析：（1）過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，由正方形的性質(zhì)結(jié)合同角的余角相等即可證出△ADE≌△BAF，從而得出DE=AF，AE=BF，再結(jié)合點(diǎn)A、D的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)反比例函數(shù)為y=，根據(jù)平行的性質(zhì)找出點(diǎn)B′、D′的坐標(biāo)，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于k、t的二元一次方程組，解方程組解得出結(jié)論；

（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，）．分B′D′為對(duì)角線或?yàn)檫吙紤]，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于m、n的方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

詳解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1所示．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°，

∴∠ADE=∠BAF．

在△ADE和△BAF中，

，

∴△ADE≌△BAF（AAS），

∴DE=AF，AE=BF．

∵點(diǎn)A（-6，0），D（-7，3），

∴DE=3，AE=1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6+3，0+1），即（-3，1）．

故答案為：（-3，1）．

（2）設(shè)反比例函數(shù)為y=，

由題意得：點(diǎn)B′坐標(biāo)為（-3+t，1），點(diǎn)D′坐標(biāo)為（-7+t，3），

∵點(diǎn)B′和D′在該比例函數(shù)圖象上，

∴k=（-3+t）×1=（-7+t）×3，

解得：t=9，k=6，

∴反比例函數(shù)解析式為y=．

（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，）．

以P、Q、B′、D′四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分兩種情況：

當(dāng)B′D′為對(duì)角線時(shí)， ，

當(dāng)B′D′為邊時(shí)， ，或 ，