Question

在△ABC中，a、b、c分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，若2b=a+c，∠B=30°，△ABC的面積為

3

2

，求b的值．

Answer 1

分析：作輔助線，作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和勾股定理可將AD和BD的長(zhǎng)用c表示出來(lái)，在Rt△ACD中，利用勾股定理和△ABC的面積可將a²+c²的值求出，從而可將b=

1

2

（a+c）的值求出．

解答：解：如圖，作AD⊥BC于D，
∵∠B=30°，∴AD=

c

2

，BD=

3

2

c
DC=a-

3

2

c
在Rt△ADC中，AD²+DC²=AC²，
∵AC=b=

a+c

2

，
∴（

c

2

）²+（a-

3

2

c）²=（

a+c

2

）²
∴

c2

4

+a²-

3

ac+

3

4

c²=

1

4

（a²+c²+2ac）①；
又

1

2

•a•

1

2

c=

3

2

，
∴ac=6  ②；
由①②可知，a²+c²=8

3

+4  ③，
（a+c）²=8

3

+4+12=8

3

+16；
∴

1

4

（a+c）²=4+2

3

=（

3

+1）²
∴b=

1

2

（a+c）=

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查勾股定理和30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的應(yīng)用，正確運(yùn)用已知條件是解題的關(guān)鍵．