Question

【題目】如圖，∠BAO=90°，AB=8，動(dòng)點(diǎn)P在射線AO上，以PA為半徑的半圓P交射線AO于另一點(diǎn)C，CD∥BP交半圓P于另一點(diǎn)D，BE∥AO交射線PD于點(diǎn)E，EF⊥AO于點(diǎn)F，連接BD，設(shè)AP=m．

（1）求證：∠BDP=90°．

（2）若m=4，求BE的長(zhǎng)．

（3）在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中．

①當(dāng)AF=3CF時(shí)，求出所有符合條件的m的值．

②當(dāng)tan∠DBE=時(shí)，直接寫出△CDP與△BDP面積比．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）的長(zhǎng)為10；（3）m的值為或；與面積比為或．

【解析】

由知，再由知、，據(jù)此可得，證≌即可得；
易知四邊形ABEF是矩形，設(shè)，可得，證≌得，在中，由，列方程求解可得答案；
分點(diǎn)C在AF的左側(cè)和右側(cè)兩種情況求解：左側(cè)時(shí)由知、、，在中，由可得關(guān)于m的方程，解之可得；右側(cè)時(shí)，由知、、，利用勾股定理求解可得．作于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GD交BE于點(diǎn)H，由≌知，據(jù)此可得，再分點(diǎn)D在矩形內(nèi)部和外部的情況求解可得．

如圖1，

，

，

，

、，

，

，

≌，

．

，，

，

，

，

四邊形ABEF是矩形，

設(shè)，則，

，

，

，

，

≌，

，

≌，

，

在中，，即，

解得：，

的長(zhǎng)為10．

如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在AF的左側(cè)時(shí)，

，則，

，

，，

在中，由可得，

解得：負(fù)值舍去；

如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在AF的右側(cè)時(shí)，

，

，

，

，，

在中，由可得，

解得：負(fù)值舍去；

綜上，m的值為或；

如圖3，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GD交BE于點(diǎn)H，

≌，

，

又，且，

，

當(dāng)點(diǎn)D在矩形ABEF的內(nèi)部時(shí)，

由可設(shè)、，

則，

，

則；

如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在矩形ABEF的外部時(shí)，

由可設(shè)、，

則，

，

則，

綜上，與面積比為或．