Question

如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E是線段0D上一點，連接EC，作BF⊥CE于點F，交0C于點G．
（1）求證：BG=CE；
（2）若AB=4，BF是∠DBC的角平分線，求OG的長．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到相等的線段和角證得，△BOG≌△CEO（AAS），所以BG=CE；
（2）利用BF是∠DBC的角平分線求得∠1=∠8，結(jié)合BF=BF，∠9=∠6可證明△BEF≌△BCF（ASA），所以BE=BC=4，根據(jù)Rt△BOC中對應(yīng)的比例關(guān)系和三角函數(shù)可求得BO=2

2

，所以O(shè)E=BE-BO=4-2

2

．根據(jù)△BOG≌△COE可知OG=OE=4-2

2

．

解答：（1）證明：∵正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
∴BO=CO，BO⊥CO，
∵BF⊥EC，
∴∠5=∠6=∠7=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∴△BOG≌△CEO，（AAS）（3分）
∴BG=CE．（1分）

（2）解：方法1：∵BF是∠DBC的角平分線，
∴∠1=∠8，
∵BF=BF，∠9=∠6=90°，
∴△BEF≌△BCF（ASA），（2分）
∴BE=BC=4，（1分）
∵在Rt△BOC中，cos∠OBC=

BO

BC

，
即cos45°=

BO

BC

，
∴BO=BC•cos45°=2

2

，（1分）
∴OE=BE-BO=4-2

2

，（1分）
∵△BOG≌△COE，
∴OG=OE=4-2

2

．（1分）
方法2：∵BF是∠DBC的角平分線，
∴∠1=∠8，
∵BF=BF，∠9=∠6=90°，
∴△BEF≌△BCF（ASA），
∴BE=BC=4，
∵四邊形BCD是正方形
∴∠AOB=90°，AO=BO
設(shè)AO為x，
由勾股定理，得
2x²=4²
解得x=2

2

∵△BOG≌△COE
∴OG=OE
∵OE=BE-BO=4-2

2

，
∴OG=4-2

2

．

點評：主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定．要掌握正方形中一些特殊的性質(zhì)：四邊相等，四角相等，對角線相等且互相平分．可利用這些等量關(guān)系求得三角形全等是解題的關(guān)鍵．