Question

一透明的敞口正方體容器ABCD -A′B′C′D′ 裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α（∠CBE = α，如圖17-1所示）．
探究 如圖1，液面剛好過棱CD，并與棱BB′ 交于點(diǎn)Q，此時(shí)液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖2所示．解決問題：

（1）CQ與BE的位置關(guān)系是___  ___，BQ的長是____  ___dm；
（2）求液體的體積；（參考算法：直棱柱體積V液 = 底面積SBCQ×高AB）
（3）求α的度數(shù).(注：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝)
拓展 在圖17-1的基礎(chǔ)上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉(zhuǎn)，但不能使液體溢出，圖17-3或圖17-4是其正面示意圖.若液面與棱C′C或CB交于點(diǎn)P，設(shè)PC = x，BQ = y.分別就圖17-3和圖17-4求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的α的范圍.
延伸 在圖17-4的基礎(chǔ)上，于容器底部正中間位置，嵌入一平行于側(cè)面的長方形隔板（厚度忽略不計(jì)），得到圖17-5，隔板高NM =" 1" dm，BM = CM，NM⊥BC.繼續(xù)向右緩慢旋轉(zhuǎn)，當(dāng)α = 60°時(shí)，通過計(jì)算，判斷溢出容器的液體能否達(dá)到4 dm³.

Answer 1

（1）CQ∥BE，BQ=3；
（2）V_液=24dm³；
（3）α=∠BCQ=37°．

試題分析：（1）根據(jù)水面與水平面平行可以得到CQ與BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的長；
（2）液體正好是一個(gè)以△BCQ是底面的直棱柱，據(jù)此即可求得液體的體積；
（3）根據(jù)液體體積不變，據(jù)此即可列方程求解；
延伸：當(dāng)α=60°時(shí)，如圖6所示，設(shè)FN∥EB，GB′∥EB，過點(diǎn)G作GH⊥BB′于點(diǎn)H，此時(shí)容器內(nèi)液體形成兩層液面，液體的形狀分別是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G為底面的直棱柱，求得棱柱的體積，即可求得溢出的水的體積，據(jù)此即可作出判斷．
試題解析：（1）CQ∥BE，BQ==3；
（2）V_液=×3×4×4=24（dm³）；
（3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=，
∴α=∠BCQ=37°．
當(dāng)容器向左旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖3，0°≤α≤37°，
∵液體體積不變，
∴（x+y）×4×4=24，
∴y=﹣x+3．
當(dāng)容器向右旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖4．同理可得：y=；
當(dāng)液面恰好到達(dá)容器口沿，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B′重合時(shí)，如圖5，
由BB′=4，且PB•BB′×4=24，得PB=3，
∴由tan∠PB′B=，得∠PB′B=37°．
∴α=∠B′PB=53°．此時(shí)37°≤α≤53°；
延伸：當(dāng)α=60°時(shí)，如圖6所示，設(shè)FN∥EB，GB′∥EB，過點(diǎn)G作GH⊥BB′于點(diǎn)H．
在Rt△B′GH中，GH=MB=2，∠GB′B=30°，
∴HB′=2．
∴MG=BH=4﹣2＜MN．
此時(shí)容器內(nèi)液體形成兩層液面，液體的形狀分別是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G為底面的直棱柱．
∵S_△NFM+S_MBB′G=××1+（4﹣2+4）×2=8﹣．
∴V_溢出=24﹣4（8﹣）=﹣8＞4（dm³）．
∴溢出液體可以達(dá)到4dm³．
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