Question

如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD中點(diǎn)．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當(dāng)BC=2AB=4，且△ABE的面積為

3

，求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，推出DF=BE，根據(jù)SAS即可推出答案；
（2）過(guò)A作AH⊥BC于H，根據(jù)三角形的面積求出AH，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出∠B，得出等邊三角形AEB，推出AE=BE=AB，推出AF=CF=CE=AE即可．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，
∵E，F(xiàn)分別是BC，AD中點(diǎn)，
DF=

1

2

DA，BE=

1

2

CB，
∴DF=BE，
∵AB=DC，∠B=∠D，
∴△ABE≌△CDF．

（2）解法一、過(guò)A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面積為

3

，
∴BE=AB=2，

1

2

×EB×AH=

3

，
∴AH=

3

，
∴sinB=

3

2

，
∴∠B=60°，
∴AB=BE=AE，
∵E，F(xiàn)分別是BC，AD中點(diǎn)，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四邊形AECF是菱形．
解法二、過(guò)A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面積為

3

，
∴BE=AB=2，

1

2

×EB×AH=

3

，
∴AH=

3

，
∴由勾股定理得：BH=1，
HE=2-1=1=BH，
∵AH⊥BE，
∴AB=AE=BE，
∵E，F(xiàn)分別是BC，AD中點(diǎn)，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四邊形AECF是菱形

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，銳角三角函數(shù)的定義，菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．