Question

定義一種變換：平移拋物線F₁得到拋物線F₂，使F₂經(jīng)過F₁的頂點(diǎn)A．設(shè)F₂的對稱軸分別交F₁，F(xiàn)₂于點(diǎn)D，B，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)．

（1）如圖1，若F₁：y=x²，經(jīng)過變換后，得到F₂：y=x²+bx，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），則：
①b的值等于

 

；
②四邊形ABCD為（　�。�
A、平行四邊形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．
（2）如圖2，若F₁：y=ax²+c，經(jīng)過變換后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，c-1），求△ABD的面積；
（3）如圖3，若F₁：y=

1

3

x²-

2

3

x+

7

3

，經(jīng)過變換后，AC=2

3

，點(diǎn)P是直線AC上的動點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離和到直線AD的距離之和的最小值．

Answer 1

分析：（1）已知F₂的解析式，把已知坐標(biāo)代入即可得出b的值；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上求出S_△ABD；
（3）要分情況討論點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊還是右邊，作PH⊥AD交AD于點(diǎn)H，則PD+PH=PB+PH，是PB+PH值最小可求出h的最小值．

解答：解：（1）-2；D；

（2）∵F₂：y=a（x-2）²+c-1，
而A（0，c）在F₂上，可得a=

1

4

．
∴DB=（4a+c）-（c-1）=2，
∴S_△ABD=2；

（3）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)（如圖1），
設(shè)AC與BD交于點(diǎn)N，
拋物線y=

1

3

x²-

2

3

x+

7

3

，配方得y=

1

3

（x-1）²+2，
其頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（1，2），
∵AC=2

3

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1+2

3

，2）．
∵F₂過點(diǎn)A，
∴F₂解析式為y=

1

3

（x-1-

3

）²+1，
∴B（1+

3

，1），
∴D（1+

3

，3）
∴NB=ND=1，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線BD對稱，
∴AC⊥DB，且AN=NC
∴四邊形ABCD是菱形．
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于點(diǎn)H，則PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是點(diǎn)B到AD的距離，即△ABD邊AD上的高h(yuǎn)．
∵DN=1，AN=

3

，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，
故△ABD是等邊三角形．
∴h=

3

2

AD=

3

∴最小值為

3

．
當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)（如圖2），同理，最小值為

3

．
綜上，點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離和到直線AD的距離之和的最小值為

3

．

點(diǎn)評：本題綜合考查的是考生的作圖能力以及二次函數(shù)的靈活運(yùn)用，難度較大．