Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM= ∠ABC，點D是直線BC上的動點，過點D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC于F．

（1）如圖1所示，當點D與點B重合時，延長BA，CM交點N，證明：DF=2EC；
（2）當點D在直線BC上運動時，DF和EC是否始終保持上述數量關系呢？請你在圖2中畫出點D運動到CB延長線上某一點時的圖形，并證明此時DF與EC的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖（1），延長BA，CM交點N，

∵∠A=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠ACM= ∠ABC=22.5°，

∴∠BCM=67.5°，

∴∠BNC=67.5°=∠BCM，

∴BC=BN，

∵BE⊥CE，

∴∠ABE=22.5°，CN=2CE，

∴∠ABE=∠ACM=22.5°，

在△BAF和△CAN中， ，

∴△BAF≌△CAN（ASA），

∴BF=CN，

∴BF=2CE

（2）解：保持上述關系；BF=2CE；

證明如下：

作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，

如圖（2）所示：

∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，

∴∠EDC=22.5°，

∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，

∴∠DPC=67.5°，

∴PD=CD，

∴PE=EC，

∴PC=2CE，

∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，

∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，

∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，

在△DNF和△PNC中， ，

∴△DNF≌△PNC（ASA），

∴DF=PC，

∴DF=2CE．

【解析】（1）延長BA，CM交點N，先證明BC=BN，得出CN=2CE，再證明△BAF≌△CAN，得出對應邊相等BF=CN，即可得出結論；
（2）作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，先證明PD=CD，得出PC=2CE，再證明△DNF≌△PNC，得出對應邊相等DF=PC，即可得出結論．