Question

已知：如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，點E是邊BC上一點，過點E作FE⊥BC（垂足為E）交AB于點F，且EF=AF，以點E為圓心，EC長為半徑作⊙E交BC于點D．
（1）求證：斜邊AB是⊙E的切線；
（2）設若AB與⊙E相切的切點為G，AC=8，EF=5，連DA、DG，求S_△ADG．

Answer 1

（1）過點E作EG⊥AB于點G，連接EA；
∵AF=EF，∠FEA+∠AEC=90°，∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠FEA=∠FAE，
∴∠FAE=∠EAC，
∴AE為角平分線，
∴EG=EC，
∴斜邊AB是⊙E的切線．

（2）連CG與AE相交于點H，由切線長定理得到：AC=AG=8，
由EF=AF=5；得FG=AG-AF=8-5=3，
在Rt△EFG中，根據(jù)勾股定理得：EG=CE=

EF2-FG2

=4，
∴AE=

AC2+CE2

=4

5

，又

1

2

AE•GH=

1

2

AG•GE，
∴GH=

AG•GE

AE

=

8 5

5

，GC=2GH=

16 5

5

，
∴DG=

(2CE)2-CG2

=

8 5

5

∴S_Rt△DGC=

1

2

DG•CG=

64

5

；
由Rt△DGC的面積為

64

5

，
∵CD是直徑，
∴∠DGC=90°，
∵AG、AC是⊙E切線，
∴AE⊥CG，
∴∠EHC=90°=∠DGC，
∴DG∥AE，
∴S_△AGD=S_△DGE=

1

2

S_Rt△DGC=

32

5

．