Question

“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，小明在探究

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

結果時，發(fā)現(xiàn)可利用圖形的知識來解決問題．他是這樣規(guī)定的：在圖1中，若線段AB的長為1，C₁為AB的中點，C₂為C₁B的中點，C₃ 為C₂B的中點，…，C_n為C_n-1B的中點．
（1）則可以得出線段C₁B=

 

，C₁C₂=

 

，ACn=

 

；
（2）從而發(fā)現(xiàn)了

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

=

 

；
（3）小明學習上愛動腦，經(jīng)過認真思考和分析后，發(fā)現(xiàn)在計算

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

時，也可以利用構造一個圖形，通過面積來計算．他構造圖形是：如圖2，正△ABC面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點A₁、B₁，再分別取A₁C、B₁C的中點A₂、B₂，依次取下去…，能直觀地計算出結果．請你根據(jù)這個圖形說明小明的結果：

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

=

 

．
請你對小明的發(fā)現(xiàn)，試給出必要的說理．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線段中點的定義寫出前兩個，并發(fā)現(xiàn)后一段是前一段的

1

2

，然后求出C_n-1C_n=C_nB，AC_n=AB-C_nB，代入數(shù)即可；
（2）與線段聯(lián)系發(fā)現(xiàn)，這列數(shù)據(jù)的和等于線段AB，所以這列數(shù)的和等于1；
（3）根據(jù)三角形的中位線定理與相似三角形的面積的比等于相似比的平方可得這列數(shù)分別是被依次分割取得的三角形的面積，根據(jù)三角形的面積分別表示出四邊形ABB₁A₁的面積，四邊形A₁B₁B₂A₂的面積，四邊形A₂B₂B₃A₃的面積，…四邊形A_n-1B_n-1B_nA_n的面積，再根據(jù)所有四邊形的面積相加即可得解．

解答：解：（1）∵AB=1，C₁為AB的中點，
∴C₁B=

1

2

AB=

1

2

，
∵C₂為C₁B的中點，
∴C₁C₂=

1

2

C₁B=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
以此類推，每取一次中點，線段的長度變?yōu)榍耙淮蔚?span id="ea0a8yo" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

2

，
∴C_n-1C_n=C_nB=（

1

2

）ⁿ=

1

2n

，
∴AC_n=AC-C_nB=1-

1

2n

；

（2）結合圖形，

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

=AC₁+C₁C₂+…+C_nB=AC_n，
∴

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

=1-

1

2n

；

（3）∵正△ABC面積為1，A₁、B₁分別為AC、BC兩邊的中點，
∴S_△A1B1C=

1

4

S_△ABC=

1

4

，
∴S_{四邊形ABB1A1}=3S_△A1B1C=3×

1

4

，
同理S_△A2B2C=

1

4

S_△A1B1C=

1

4

×

1

4

=

1

42

，
∴S_{四邊形A1B1B2A2}=3S_△A2B2C=3×

1

42

，
…
以此類推S_{四邊形An-1Bn-1BnAn}=3S_△AnBnC=3×

1

4n

，
S_△AnBnC=

1

4n

，
∵S_△ABC=S_{四邊形ABB1A1}+S_{四邊形A1B1B2A2}+…+S_{四邊形An-1Bn-1BnAn}+S_△AnBnC=1，
即3×

1

4

+3×

1

42

+…+3×

1

4n

+

1

4n

=1，
∴

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

=

1- 1 4n

3

．
故答案為：（1）

1

2

，

1

4

，1-

1

2n

；（2）1；（3）

1- 1 4n

3

．

點評：本題是對圖形變化問題的考查，把數(shù)據(jù)融合與圖形的線段的長度或面積中，做到數(shù)形結合，用圖形表示數(shù)據(jù)，用數(shù)據(jù)描述圖形是解題的關鍵，也是解題的突破口，本題難度較大，靈活性較強，求解時一定要小心仔細．