Question

【題目】小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時，經(jīng)歷了如下過程：

求解體驗(yàn)：

（1）已知拋物線y＝﹣x2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），則b＝　 　，頂點(diǎn)坐標(biāo)　 　，該拋物線關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對稱的拋物線的表達(dá)式是　 　．

抽象感悟：

我們定義：對于拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），以y軸上的點(diǎn)M（0，m）為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對稱的拋物線y'，則我們又稱拋物線y'為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．

（2）已知拋物線y＝﹣x2﹣2x+5關(guān)于點(diǎn)（0，m）的衍生拋物線為y'，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍．

問題解決：

（3）已知拋物線y＝ax2+2ax﹣b（a≠0）若拋物線y的衍生拋物線為y'＝bx2﹣2bx+a2（b≠0），兩拋物線有兩個交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求a，b的值及衍生中心的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）﹣4，（﹣2，1），y＝x2﹣4x+5； （2）m≤5；（3）a＝3，b＝﹣3，衍生中心的坐標(biāo)為（0，6）；

【解析】

求解體驗(yàn)：（1）利用待定系數(shù)法求出b的值，進(jìn)而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在拋物線上取一點(diǎn)（0，﹣3），求出點(diǎn)（﹣2，1）和（0，﹣3）關(guān)于（0，1）的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

抽象感悟：（2）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（﹣1，6），進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出衍生函數(shù)解析式，聯(lián)立即可得出結(jié)論；

問題解決：（3）①求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和衍生拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，分別代入拋物線解析式中，即可求出a，b的值，即可得出結(jié)論；

解：求解體驗(yàn)：

（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），

∴﹣1﹣b﹣3＝0，

∴b＝﹣4，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（﹣2，1）關(guān)于（0，1）的對稱點(diǎn)為（2，1），

即：新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），

令原拋物線的x＝0，

∴y＝﹣3，

∴（0，﹣3）關(guān)于點(diǎn)（0，1）的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），

設(shè)新拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+1，

∵點(diǎn)（0，5）在新拋物線上，

∴5＝a（0﹣2）2+1，

∴a＝1，

∴新拋物線解析式為y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5，

故答案為：﹣4，（﹣2，1），y＝x2﹣4x+5；

抽象感悟：

（2）∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6①，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，6），

設(shè)衍生拋物線為y′＝a（x﹣1）2+2m﹣6，

∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+5關(guān)于點(diǎn)（0，m）的衍生拋物線為y′，

∴a＝1，

∴衍生拋物線為y′＝（x﹣1）2+2m﹣6＝x2﹣2x+2m﹣5②，

聯(lián)立①②得，x2﹣2x+2m﹣5＝﹣x2﹣2x+5，

整理得，2x2＝10﹣2m，

∵這兩條拋物線有交點(diǎn)，

∴10﹣2m≥0，

∴m≤5；

問題解決：

（3）①拋物線y＝ax2+2ax﹣b＝a（x+1）2﹣a﹣b，

∴此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣a﹣b），

∵拋物線y的衍生拋物線為y′＝bx2﹣2bx+a2＝b（x﹣1）2+a2﹣b，

∴a+b＝0，③

∵兩個拋物線有兩個交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，

∴b+2b+a2＝﹣a﹣b④，

聯(lián)立③④，得：

a＝0（舍）或a＝3，

∴b＝﹣3，

∴拋物線y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），拋物線y的衍生拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，12），

∴衍生中心的坐標(biāo)為：（0，6）.