Question

已知拋物線過點(diǎn)（-2，4），與y軸的交點(diǎn)為B（0，1）。 （1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)A的坐標(biāo)； （2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)C，使∠BAC=90。？若不存在說明理由；若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)； （3）P、Q為拋物線上的兩點(diǎn)，且橫坐標(biāo)分別為4和6，在x軸、y軸上分別有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，當(dāng)PM +MN +NQ最小時(shí)，求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）∵ 拋物線過（- 2，4），（0，1）                 ∴  ∴               ∴拋物線的解析式為，其頂點(diǎn)為（2，0） （2）假設(shè)存在C點(diǎn)使∠BAC = 90°，         設(shè)C（t，），         過C作CD⊥x軸于D，則D（t，0），         ∴       ∵ ∠BAC = 90°，∠ADC = 90°        ∴ ∠BAO =∠ACD        ∴ △BAO ∽△ACD       ∴       ∴解得t1 = 2（舍），t2 = 10       ∴ 存在C（10，16）使∠BAC = 90° （3）∵ 點(diǎn)P在拋物線上，且橫坐標(biāo)分別為4和6          ∴ P（4，1），Q（6，4）          ∴ 點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'（4，- 1），               點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q'（- 6，4）         ∵        ∴ 當(dāng)P'、M、N、Q'共線時(shí)，最小       ∵ P'Q'的解析式為      ∴ 此時(shí)M（2，0），N（0，1）