Question

已知拋物線l：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的頂點P的坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），與y軸的交點是M（0，c）．我們稱以M為頂點，對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線l的伴隨拋物線，直線PM為l的伴隨直線．
（1）請直接寫出拋物線y=2x²-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：伴隨拋物線的解析式

y=-2x²+1

，伴隨直線的解析式

y=-2x+1

；
（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x²-3和y=-x-3，則這條拋物線的解析式是

y=x²-2x-3

；
（3）求拋物線l：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）求出拋物線y=2x²-4x+1的頂點坐標(biāo)為（1，-1），與y軸的交點坐標(biāo)為（0，1），設(shè)出伴隨拋物線的解析式，將（1，-1）代入解析式即可求出m的值；設(shè)出伴隨直線解析式為y=kx+b，將（1，-1）和（0，1）代入解析式，求出k、b的值即可．
（2）將y=-x²-3和y=-x-3組成方程組，求出方程組的解，即為原拋物線的頂點坐標(biāo)和與y軸的交點坐標(biāo)．
（3）先根據(jù)拋物線的解析式求出其頂點P和拋物線與y軸的交點M的坐標(biāo)．然后根據(jù)M的坐標(biāo)用頂點式二次函數(shù)通式設(shè)伴隨拋物線的解析式然后將P點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出伴隨拋物線的解析式．根據(jù)M，P兩點的坐標(biāo)即可求出直線PM的解析式．

解答：解：（1）拋物線y=2x²-4x+1的頂點坐標(biāo)為（1，-1），與y軸的交點坐標(biāo)為（0，1），
設(shè)拋物線y=2x²-4x+1的伴隨拋物線的解析式為y=mx²+1，
將（1，-1）代入解析式得，-1=m+1，
解得，m=-2，
則函數(shù)解析式為y=-2x²+1．
設(shè)伴隨直線的解析式為y=kx+b，
將（1，-1）和（0，1）分別代入解析式y(tǒng)=kx+b得，

k+b=-1 b=1

，
解得，

k=-2 b=1

，
則伴隨直線解析式為y=-2x+1．

（2）將y=-x²-3和y=-x-3組成方程組得，

y=-x2-3 y=-x-3

，
解得，

x1=0 y1=-3

或

x2=1 y1=-4

．
則原拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，-4），與y軸的交點坐標(biāo)為（0，-3）．
設(shè)原函數(shù)解析式為y=n（x-1）²-4，將（0，-3）代入y=n（x-1）²-4得，-3=n（0-1）²-4，
解得，n=1，
則原函數(shù)解析式為y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3．

（3）∵伴隨拋物線的頂點是（0，c），
∵設(shè)它的解析式為y=m（x-0）²+c（m≠0），
∵此拋物線過P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴=m•（-

b

2a

）²+c，
解得m=-a，
∴伴隨拋物線解析式為y=-ax²+c；
設(shè)伴隨直線解析式為y=kx+c（k≠0），
P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）在此直線上，
∴

4ac-b2

4a

=-

b

2a

k+c，
∴k=

b

2

，
∴伴隨直線解析式為y=

b

2

x+c．
故答案為y=-2x²+1，y=-2x+1，y=x²-2x-3．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題目所給出的條件，根據(jù)新定義進行解答．涉及待定系數(shù)法、二次根式的性質(zhì)等知識，綜合性較強，要認(rèn)真解答．