Question

如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合）．在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于H，AD與BC交于P，BE與CD交于Q，連接PQ、CH．給出以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE，②PQ∥AE，③AP=BQ，④DE=DP，⑤∠AHB=60°，⑥HC平分∠AHE，⑦△CDP≌△CEQ．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、4個(gè)
• B、5個(gè)
• C、6個(gè)
• D、7個(gè)

Answer 1

分析：證明①可先證明△ACD≌△BCE，已有：AB=BC，CD=CE，易得∠ACD=∠BCE，其他的證明需要通過①得到，再利用三角形相似以及等邊三角形的知識(shí)分別進(jìn)行證明即可得出答案．

解答：解：①∵△ABC和△CDE為等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，故①正確；
由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，進(jìn)而可求證△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，故③正確；
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE②成立，
∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故④DE=DP錯(cuò)誤；
∵等邊△ABC、等邊△DCE，
∴∠ACB=∠CED，即BC∥DE，
同理可證AB∥CD，
即可得△BAE∽△QCE，△APC∽△ADE，
∴

PC

DE

=

AC

AE

，

CQ

AB

=

CE

AE

，
∵BA=CA，DE=CE，
∴CQ=CP，
又∵∠PCQ=180°-∠ACB-∠ECD=60°，
∴△PCQ為等邊三角形，
∵PC=CQ，CD=CE，∠PCD=∠QCE，
∴△CDP≌△CEQ．故⑦△CDP≌△CEQ，正確；
∵BC∥DE，
∴∠CBE=∠BED，
∵∠CBE=∠DAE，
∴∠AHB=∠HAE+∠AEH=60°，故⑤正確；
同理可得出∠AHE=120°，∠HAC=∠HCD，
∴∠DCE=∠AHC=60°，
∴HC平分∠AHE，故⑥正確，
故正確的有①②③⑤⑥⑦共6個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及三角形全的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練應(yīng)用三角形全等的證明是正確解答本題的關(guān)鍵．