Question

觀察下列各式

1+ 1 3

=2

1 3

，

2+ 1 4

=3

1 4

，

3+ 1 5

=4

1 5

…
按照上述三個(gè)等式及其變化過(guò)程，
①猜想5

1 6

=

 

，

 

=15

1 16

；
②試猜想第n個(gè)等式為

 

；
③證明②式成立．

Answer 1

分析：①注意觀察左邊的被開(kāi)方數(shù)是一個(gè)整數(shù)+分?jǐn)?shù)，其分?jǐn)?shù)的分子是1，分母比其整數(shù)大2．右邊的結(jié)果根號(hào)外的比左邊的整數(shù)大1，根號(hào)內(nèi)的是左邊的分?jǐn)?shù)．
②觀察給出的例子得出規(guī)律：

n+ 1 n+2

=(n+1)

1 n+2

（n≥1）．
③根據(jù)完全平方公式和二次根式的性質(zhì)即可證明．

解答：解：①猜想 5

1 6

=

4+ 1 6

，

14+ 1 16

=15

1 16

；
②根據(jù)規(guī)律，可以表示為：

n+ 1 n+2

=（n+1）

1 n+2

，
③驗(yàn)證如下：
左邊=

n2+2n+1 n+2

=

(n+1)2 n+2

=（n+1）

1 n+2

=右邊，等式成立；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方公式和二次根式的性質(zhì)．解答此類題目的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察題中式子的特點(diǎn)，找出其中的規(guī)律．本題的規(guī)律為：從1開(kāi)始，一個(gè)數(shù)n加上n+2的倒數(shù)再開(kāi)方等于n+1乘以n+2的倒數(shù)再開(kāi)方．