Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以y軸正半軸上一點A（0，m）（m為非零常數(shù)）為端點，作與y軸正方向夾角為60°的射線l，在l上取點B，使AB=4k （k為正整數(shù)），并在l下方作∠ABC=120°，BC=2OA，線段AB，OC的中點分別為D，E．
（1）當(dāng)m=4，k=1時，直接寫出B，C兩點的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=-

1

k+2

x2+

2 3 (2k+1)

3(k+2)

x+m的頂點恰好為D點，且DE=2

7

，求拋物線的解析式及此時cos∠ODE的值；
（3）當(dāng)k=1時，記線段AB，OC的中點分別為D₁，E₁，當(dāng)k=3時，記線段AB，OC的中點分別為D₃，E₃，求直線E₁E₃的解析式及四邊形
D₁D₃E₃E₁的面積（用含m的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）本題須分別求出點B、C到x軸和y軸的距離即可求出兩點的坐標(biāo)．
（2）本題須先求出B點的坐標(biāo)和C點的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出點D和E的坐標(biāo)，再根據(jù)D恰為拋物線y=-

1

k+2

x2+

2 3 (2k+1)

3(k+2)

x+m的頂點即可得出拋物線的解析式，最后根據(jù)OD=OE=DE得出△ODE為等邊三角形，從而可以得出cos∠ODE的值．
（3）本題須先分別求出E₁，E₃點的坐標(biāo)然后即可得出直線E₁E₃的解析式，再根據(jù)D₁D₃=E₁E₃證出四邊形D₁D₃E₃E₁為平行四邊形，最后通過解直角三角形得出AQ的長，即可求出四邊形D₁D₃E₃E₁的面積．

解答：解：（1）B點的坐標(biāo)為（2

3

，6），C點的坐標(biāo)為（4

3

，2）；
過點B作BF∥x軸，交y軸于點F，過點C作HG⊥x軸，垂足為G，交直線BF于點H，
∵當(dāng)m=4，k=1時，A（0，m），AB=4，
∴AF=AB•cos∠EAB=4×cos60°=2，BF=AB•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴OF=4+2=6，
∴B（2

3

，6），
同理可得出C點坐標(biāo)為（6

3

，2）；

（2）當(dāng)AB=4k，A（0，m）時，OA=m，與（1）同理可得B點的坐標(biāo)為B(2

3

k，2k+m)，
C點的坐標(biāo)為C(2

3

k+

3

m，2k)．
如圖1，過點B作y軸的垂線，垂足為F，過點C作x軸的垂線，垂足為G，
兩條垂線的交點為H，作DM⊥FH于點M，EN⊥OG于點N．
由三角形中位線的性質(zhì)可得點D的坐標(biāo)為D(

3

k，k+m)，點E的坐標(biāo)為E(

3

k+

3 m

2

，k)．
根據(jù)坐標(biāo)系中兩點間距離公式和勾股定理得DE=

( 3 m 2 )2+m2

=

7

2

m．
∵DE=2

7

，∴m=4．
∵D恰為拋物線y=-

1

k+2

x2+

2 3 (2k+1)

3(k+2)

x+m的頂點，它的頂點橫坐標(biāo)為

3 (2k+1)

3

，
∴

3 (2k+1)

3

=

3

k．
解得k=1．此時拋物線的解析式y=-

1

3

x2+

2 3

3

x+4．
此時D，E兩點的坐標(biāo)分別為D(

3

，5)，E(3

3

，1)．
∴OD=2

7

，OE=2

7

．
∴OD=OE=DE．
∴此時△ODE為等邊三角形，cos∠ODE=cos60°=

1

2

；

（3）E₁，E₃點的坐標(biāo)分別為E1(

3 m

2

+

3

，1)，E₃(

3 m

2

+3

3

，3)．
設(shè)直線E₁E₃的解析式為y=ax+b（a≠0）．
則

( 3 m 2 + 3 )a+b=1 ( 3 m 2 +3 3 )a+b=3.

解得

a= 3 3 b=- m 2 .

∴直線E₁E₃的解析式為y=

3

3

x-

m

2

．
可得直線E₁E₃與y軸正方向的夾角等于60°．
∵直線D₁D₃，E₁E₃與y軸正方向的夾角都等于60°，
∴D₁D₃∥E₁E₃．
∵D₁，D₃兩點的坐標(biāo)分別為D1(

3

，m+1)，D3(3

3

，m+3)，
由勾股定理得D₁D₃=4，E₁E₃=4．
∴D₁D₃=E₁E₃．
∴四邊形D₁D₃E₃E₁為平行四邊形．
設(shè)直線E₁E₃與y軸的交點為P，作AQ⊥E₁E₃于Q．
可得點P的坐標(biāo)為P(0，-

m

2

)，AP=

3

2

m．
∴AQ=AP•sin∠OPQ=AP•sin60°=

3 3

4

m．
∴S四邊形D1D3E3E1=D1D3×AQ=4×

3 3 m

4

=3

3

m．

點評：本題著重考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，在解題時要注意與平行四邊形的判定和性質(zhì)以及如何求面積相結(jié)合，本題綜合性強，運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解題是本題的關(guān)鍵．