Question

如圖1，拋物線y=ax²-2ax-b（a＜0）與x軸的一個交點為B（-1，0），與y軸的正半軸交于點C，頂點為D．
（1）求頂點D的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若以AD為直徑的圓經(jīng)過點C．
①求拋物線的解析式；
②如圖2，點E是y軸負半軸上的一點，連接BE，將△OBE繞平面內(nèi)某一點旋轉(zhuǎn)180°，得到△PMN（點P、M、N分別和點O、B、E對應(yīng)），并且點M、N都在拋物線上，作MF⊥x軸于點F，若線段MF：BF=1：2，求點M、N的坐標(biāo)；
③如圖3，點Q在拋物線的對稱軸上，以Q為圓心的圓過A、B兩點，并且和直線CD相切，求點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）把B（-1，0）代入得：b=3a，
y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
所以頂點D（1，-4a）．

（2）①有題設(shè)知：點C（0，-3a），點A（3，0），
且∠ACD=90°；
在Rt△AOC中，AC²=9a²+3²，
在Rt△AHD中，AD²=16a²+2²，
在Rt△CMD中，CD²=a²+1²，
因為AD²=AC²+CD²，
所以16a²+2²=a²+1²+9a²+3²，a²=1，又a＜0，
所以a=-1，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
②設(shè)點M（m，y₁）
則BF=m+1，
點MF：BF=1：2，
∴MF=，即y₁=
點M（m，y₁）在拋物線上，
所以=-m²+2m+3，
解得：m=或m=-1（舍去），
點M的坐標(biāo)為M（，）；
又因為MP∥BO，MP=BO，
所以點的坐標(biāo)為P（，），
由得點N的坐標(biāo)為N（，）．
③設(shè)點Q（1，y）
因為D（1，4），C（0，3）
直線CD的方程為y=x+3，
令y=0，得G（-3，0），
設(shè)直線CD與⊙O的切點為K，連接QK；
則△DQK∽△DGH，=，
又QK=QB=，DQ=4-y，
所以=，
整理得：y²+8y-8=0，
解得y=-4±2；
所以點Q的坐標(biāo)為（1，-4+2）或（1，-4-2）．
說明：由∠QDK=45°，直接得出QD=QK，從而得4-y=再求解，同樣給分．
分析：（1）將B點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可得到a、b的關(guān)系式，將a替換b后，將拋物線的解析式化為頂點坐標(biāo)式，即可得到頂點D的坐標(biāo)．
（2）①根據(jù)（1）題所得拋物線解析式，可用得到C、A的坐標(biāo)，若以AD為直徑的圓經(jīng)過點C，由圓周角定理可知∠ACD=90°，分別用a表示出AC、AD、CD的長，根據(jù)勾股定理可得到關(guān)于a的方程，即可求出a的值，進而確定該拋物線的解析式．
②根據(jù)①題拋物線的解析式，可求得點B的坐標(biāo)，先設(shè)出點M的坐標(biāo)，可用其橫坐標(biāo)表示出BF的長，已知BF=2MF，即可得到M點縱坐標(biāo)的表達式，將其代入拋物線的解析式中，即可得到點M的坐標(biāo)；根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)知MP=BO，由此可求得點P（即點N）的橫坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，即可得到點N的坐標(biāo)．
③若⊙Q與直線CD相切（設(shè)切點為K），那么QK=QB=QA，可設(shè)出點Q的坐標(biāo)（橫坐標(biāo)已知，只設(shè)縱坐標(biāo)即可），可表示出QB、QK、DQ的長；設(shè)直線DC與x軸的交點為G，易求得直線DC的解析式，進而可得到點G的坐標(biāo)，由此可求得HG、DG的長（H為拋物線對稱軸與x軸交點），由于直線CD切⊙Q于點K，易證得△DQK∽△DGH，根據(jù)拋物線所得比例線段，即可得到關(guān)于點Q縱坐標(biāo)的方程，通過解方程可確定點Q的坐標(biāo)．
點評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及中心對稱圖形的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等重要知識，涉及知識面廣，難度較大．