Question

如圖，已知拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其中點A坐標是（-4，0），點C坐標為（0，-2）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)點E是線段AB上的動點，作EF∥AC交BC于F，連接CE，當△CEF的面積是△BEF面積的2倍時，求E點的坐標；
（3）若P為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過P作y軸的平行線，交AC于Q，當P點運動到什么位置時，線段PQ的值最大，并求此時P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）將A、C的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；
（2）根據(jù)拋物線的解析式可得出C點的坐標，易證得△ABC是直角三角形，則EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，則面積比等于底邊比，由此可得出CF=2BF；易證得△BEF∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得BE、AB的比例關(guān)系，由此可求出E點坐標；
（3）PQ的長實際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差，可設(shè)P點橫坐標為m，用m表示出P、Q的縱坐標，然后可得出PQ的長與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ最大時，m的值，也就能求出此時P點的坐標．

解答：解：（1）將A和C點坐標代入解析式得：

0=8-4b+c -2=c

，
解得：

b= 3 2 c=-2

；
∴y=

1

2

x²+

3

2

x-2；

（2）由（1）知：C（0，-2）；
則AC²=AO²+OC²=20，BC²=BO²+OC²=5；
而AB²=25=AC²+BC²；
∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°；
∵EF∥AC，
∴EF⊥BC；
∵S_△CEF=2S_△BEF，
∴CF=2BF，BC=3BF；
∵EF∥AC，
∴

BE

AB

=

BF

BC

=

1

3

；
∵AB=5，
∴BE=

5

3

；
OE=BE-OB=

2

3

，故E（-

2

3

，0）；

（3）設(shè)P點坐標為（m，

1

2

m²+

3

2

m-2）；
已知A（-4，0），C（0，-2），
設(shè)直線AC的解析式為：
y=kx-2，
則有：-4k-2=0，k=-

1

2

；
∴直線AC的解析式為y=-

1

2

x-2；
∴Q點坐標為（m，-

1

2

m-2）；
則PQ=-

1

2

m-2-（

1

2

m²+

3

2

m-2）=-

1

2

m²-2m；
∴當m=-2，即P（-2，-3）時，PQ最大，且最大值為2．
故當P運動到OA垂直平分線上時，PQ的值最大，此時P（-2，-3）．

點評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應用等知識，綜合性強，難度較大．