Question

（2013•寧夏）在?ABCD中，P是AB邊上的任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PE⊥AB，交AD于E，連結(jié)CE，CP．已知∠A=60°；
（1）若BC=8，AB=6，當(dāng)AP的長為多少時，△CPE的面積最大，并求出面積的最大值．
（2）試探究當(dāng)△CPE≌△CPB時，?ABCD的兩邊AB與BC應(yīng)滿足什么關(guān)系？

Answer 1

分析：（1）延長PE交CD的延長線于F，設(shè)AP=x，△CPE的面積為y，由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到AB=DC，AD=BC，在直角三角形APE中，根據(jù)∠A的度數(shù)求出∠PEA的度數(shù)為30度，利用直角三角形中30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出AE與PE，由AD-AE表示出DE，再利用對頂角相等得到∠DEF為30度，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出DF，由兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠F為直角，表示出三角形CPE的面積，得出y與x的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到三角形CPE面積的最大值，以及此時AP的長；
（2）由△CPE≌△CPB，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到BC=CE，∠B=∠PEC=120°，進(jìn)而得出∠ECD=∠CED，利用等角對等邊得到ED=CD，即三角形ECD為等腰三角形，過D作DM垂直于CE，∠ECD=30°，利用銳角三角形函數(shù)定義表示出cos30°，得出CM與CD的關(guān)系，進(jìn)而得出CE與CD的關(guān)系，即可確定出AB與BC滿足的關(guān)系．

解答：解：（1）延長PE交CD的延長線于F，
設(shè)AP=x，△CPE的面積為y，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A=60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE=

3

x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x，
∴DF=

1

2

DE=4-x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S_△CPE=

1

2

PE•CF，
即y=

1

2

×

3

x×（10-x）=-

3

2

x²+5

3

x，
配方得：y=-

3

2

（x-5）²+

25 3

2

，
當(dāng)x=5時，y有最大值

25 3

2

，
即AP的長為5時，△CPE的面積最大，最大面積是

25 3

2

；

（2）當(dāng)△CPE≌△CPB時，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
過D作DM⊥CE于M，則CM=

1

2

CE，
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，
∴cos30°=

CM

CD

=

3

2

，
∴CM=

3

2

CD，
∴CE=

3

CD，
∵BC=CE，AB=CD，
∴BC=

3

AB，
則當(dāng)△CPE≌△CPB時，BC與AB滿足的關(guān)系為BC=

3

AB．

點(diǎn)評：此題考查了四邊形的綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道多知識點(diǎn)綜合的探究題．