Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=nAC，CD⊥AB于D，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別為E、F．
（1）若n=2，則

CE

BF

=

 

；
（2）當(dāng)n=3時(shí)，連EF、DF，求

EF

DF

的值；
（3）當(dāng)n=

 

時(shí)，

EF

DF

=

2 3

3

（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需證明）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠ACB=90°，PE⊥AC，PF⊥BC，那么CEPF就是個(gè)矩形．得到CE=PF從而不難求得CE：BF的值；
（2）可通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)求解；
（3）可根據(jù)（2）的思路進(jìn)行反向求解，即先通過(guò)EF，DF的比例關(guān)系，求出DE：DF的值．也就求出了CE：BF的值即tanB=AC：BC的值．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四邊形CEPF是矩形．
∴CE=PF．
∴CE：BF=PF：BF=tanB=AC：BC=

1

2

．

（2）連DE，
∵∠ACB=90°，PE⊥CA，PF⊥BC，
∴四邊形CEPF是矩形．
∴CE=PF．
∴

CE

BF

=

CD

BD

=

PF

BF

=tanB．
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠B+∠A=90°，∠ECD+∠A=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴△CED∽△BFD．
∴∠EDC=∠FDB．
∵∠FDB+∠CDF=90°，
∴∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠EDF=90°．
∵

DE

DF

=tanB=

1

3

，
設(shè)DE=a，DF=3a，
在直角三角形EDF中，根據(jù)勾股定理可得：EF=

10

a．
∴

EF

DF

=

10 a

3a

=

10

3

．

（3）

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，通過(guò)相似三角形將所求線(xiàn)段之間的比例關(guān)系同已知的線(xiàn)段間的比例關(guān)系聯(lián)系在一起是解題的關(guān)鍵．