Question

如圖，已知O是線段AB上一點，以O(shè)B為半徑作圓O交AB于點C，以線段AO為直徑作弧OD交圓O于點D，過點B作AB的垂線交AD的延長線于點E，若線段AO、OD的長是一元二次方程x²-3x+2=0的兩根．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）求線段EB的長．

Answer 1

分析：（1）欲證AE是切線，只需證AE⊥OD．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角易證；
（2）根據(jù)切線長定理得BE=ED；根據(jù)勾股定理易求AD的長；設(shè)BE=x．在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得方程求解．

解答：證明：（1）∵以線段AO為直徑作弧OD交圓O于點D，
∴∠ODA=90°，即AE⊥OD．
∴AE是⊙O的切線；（5分）

（2）解方程：x₁=1，x₂=2，
∴OA=2，OD=1．                                        （3分）
AD=

3

．所以AB=3．
設(shè)EB=x，
則EB=ED=x．
x²+9=（x+

3

）²
x=

3

，即EB=

3

．                                      （6分）

點評：①掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑的外端且垂直于該半徑的直線是圓的切線．
②綜合運用切線長定理和勾股定理解題，是圓中解直角三角形常用的方法．