Question

（2012•拱墅區(qū)二模）如圖，已知梯形ABCD的下底邊長(zhǎng)AB=8cm，上底邊長(zhǎng)DC=1cm，O為AB的中點(diǎn)，梯形的高DO=4cm．動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，在AB上勻速運(yùn)行，動(dòng)點(diǎn)Q自點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→D→A勻速運(yùn)行，速度均為每秒1個(gè)單位，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t（秒）時(shí)，△OPQ的面積為S（不能構(gòu)成△OPQ的動(dòng)點(diǎn)除外）．
（1）求S隨t變化的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)S的值最大？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先分別求出當(dāng)0＜t＜4時(shí)，當(dāng)4＜t≤5時(shí)，當(dāng)5＜t≤6時(shí)，當(dāng)6＜t≤8時(shí)，△OPQ的底邊和高，再根據(jù)面積公式即可求出S隨t變化的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別求出當(dāng)0＜t＜4時(shí)，當(dāng)4＜t≤5時(shí)，當(dāng)5＜t≤6時(shí)，當(dāng)6＜t≤8時(shí)，S_△OPQ的最大值，然后找出四個(gè)結(jié)果中最大的即可．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，
∵CD=1，
∴OE=1，
∵O為AB的中點(diǎn)，AB=8，
∴OB=OA=4，
∴EB=4-1=3，
∵OD=4，
∴CE=4，
∴BC=5，
①如圖（1），當(dāng)0＜t＜4時(shí)，點(diǎn)Q在BC上，點(diǎn)P在點(diǎn)O左側(cè)時(shí)，
過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AB，

則PO=4-t，BQ=t，

QF

CE

=

BQ

BC

，

QF

4

=

t

5

，
QF=

4

5

t，
S_△OPQ=

1

2

PO•QF=

1

2

（4-t）•

4

5

t=

8

5

t-

2

5

t²；
②如圖（2），當(dāng)4＜t≤5時(shí)，

OP=t-4，QF=

4

5

t，
S_△OPQ=

1

2

PO•QF=

1

2

（t-4）•

4

5

t=

2

5

t²-

8

5

t；
③如圖（3），當(dāng)5＜t≤6時(shí)，

OP=t-4，QF=4，
S_△OPQ=

1

2

PO•QF=

1

2

（t-4）×4=2t-8；
④如圖（4），當(dāng)6＜t≤8時(shí)，

∵OA=OD=4
∴AD=

42+42

=4

2

，
∴AD+CD+CB=4

2

+1+5=6+4

2

，
∴AQ=6+4

2

-t，
∵

AQ

AD

=

QF

OD

，
∴

6+4 2 -t

4 2

=

QF

4

，
∴QF=

24+16 2 -4t

4 2

=4-

2

2

（t-6），
∴S_△OPQ=

1

2

PO•QF=

1

2

（t-4）×[4-

2

2

（t-6）]=-

2

4

t²+

5 2 +4

2

t-8-6

2

；

（2）當(dāng)0＜t＜4時(shí)，t=2S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為

8

5

；
當(dāng)4＜t≤5時(shí)，t=5S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為2；
當(dāng)5＜t≤6時(shí)，t=6S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為4；
當(dāng)6＜t≤8時(shí)，t=5+2

2

S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為2+

9 2

4

，
則t=5+2

2

S_△OPQ最大，S_△OPQ的最大值為2+

9 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、勾股定理等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出符合要求的所有圖形．