Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點，P是斜邊AC上的一個動點，D為BC上的一點，且PB=PD，DE⊥AC，垂足為點E．
求證：（1）PE=BO；
（2）設(shè)AC=2，AP=x，四邊形PBDE的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域．

Answer 1

解：（1）P在AO上．
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點，
∴BO⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠POB=∠DEP=90°，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴∠PBO+∠OBC=∠CPD+∠C
=∠PBO+45°=∠CPD+45°=∠PDB=∠PBD，
∴∠PBO+45°=∠CPD+45°，
∴∠PB0=∠DPE，
∴△POB≌△DEP（AAS），
∴PE=BO；

（2）S_△APB=×x×1=x，
DE=CE=1-x，
S_△CDE=（1-x）²，
y=S_△ABC-S_△ABP-S_△DEC，
=×1×2-x-（1-x）²，
=+x-x²，
定義域：0＜x＜1．
分析：（1）根據(jù)在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點得到BO⊥AC，再根據(jù)DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，再由條件PB=PD可得∠PBD=∠PDB，再證出∠PB0=∠DPE，從而證明△POB≌△DEP，進而證得結(jié)論PE=PD．
（2）首先根據(jù)題意可得到△APB的面積，再求出△CDE的面積，四邊形PBDE的面積為y=△ABC的面積-△CDE的面積-△APB的面積．
點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用及全等三角形的判定及性質(zhì)，是一道難度較大、綜合性較強的綜合題，解題時一定要仔細審題．