Question

（2007•中山區(qū)二模）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在x軸上且B在A點(diǎn)右側(cè)，過(guò)點(diǎn)A和B做x軸垂線(xiàn)，分別交二次函數(shù)y=x²的圖象與C、D兩點(diǎn)，直線(xiàn)OC交BD于M．
（1）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），求證：S_△CMD：S_{四邊形ABMC}=2：3
（2）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)改為A（t，0），B（2t，0）（t＞0），其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)驗(yàn)證．
附加題：將y=x²改為y=ax²（a＞0），其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)驗(yàn)證．

Answer 1

分析：（1）可先根據(jù)AB=OA得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式和A，B的坐標(biāo)得出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再依據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線(xiàn)OC的解析式．進(jìn)而可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線(xiàn)CD的解析式進(jìn)而求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可根據(jù)這些點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解即可；
（2）及附加題的解法同（1）完全一樣．

解答：（1）∵A點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0）B（2，0）
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），D（2，4）
設(shè)直線(xiàn)OC解析式為y=kx過(guò)點(diǎn)C（1，1）
∴k=1y=x
∴M坐標(biāo)為（2，2）
∴S_△CMD=1，S ABMC=

3

2

∴S_△CMD：S_ABMC=2：3；

（2）結(jié)論仍然成立，∵A點(diǎn)坐標(biāo)A（1，0），B為（2，0）
∴C（1，a），D（2，4a）
設(shè)直線(xiàn)OC解析式為y=kx過(guò)點(diǎn)C（1，a）
∴k=a∴y=ax
點(diǎn)M在直線(xiàn)OC上，當(dāng)x=2y時(shí)，y=2a
∴M（2，2a）
S_△OMD：S_ABNC=[

1

2

×(4a-2a)]：[

1

2

(a+2a)×2a]=2：3
結(jié)論成立

附加題：
∵A（t，0）B（2t，0）
∴C坐標(biāo)為C（t，at²+bt），D（2t，4at²+2bt）
直線(xiàn)OC解析式為y=（at+b）x
M在直線(xiàn)OC上，∴M（2t，2at²+2bt）
∴S_△OMD：S_ABMC=2：3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合及圖形面積的求法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，本題是一題多變題，在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．