Question

如圖1，拋物線：與直線AB：交于x軸上的一點(diǎn)A，和另一點(diǎn)B(3，n)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間，但不包括A，B兩點(diǎn)），PM⊥AB于點(diǎn)M，PN∥y軸交AB于點(diǎn)N，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，存在某一位置，使得△PMN的周長最大，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)，并求△PMN周長的最大值；

(3)如圖2，將拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，再作適當(dāng)平移得到拋物線，已知拋物線的頂點(diǎn)E在第四象限的拋物線上，且拋物線與拋物線交于點(diǎn)D，過D點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)F，過E點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)G，是否存在這樣的拋物線，使得四邊形DFEG為菱形？若存在，請求E點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在請說明理由．     

、

Answer 1

解：⑴由題意得：A(-1,0)、B(3,2)

        ∴ 解得:∴拋物線的解析式為y=-x+x+2

       ⑵設(shè)AB交y軸于D，則D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=，

         ∵PN∥y軸, ∴∠PNM=∠CDN=∠ADO, ∴Rt△ADO∽R(shí)t△PNM.

∴.∴=×PN=PN.

   ∴當(dāng)PN取最大值時(shí), 取最大值.

  設(shè)P(m, -m+m+2) N(m, m+).則PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.

  ∵-1﹤m﹤3. ∴當(dāng)m=1時(shí),PN取最大值.

  ∴△PNM周長的最大值為×2=.此時(shí)P(1,3).

  ⑶設(shè)E(n,t),由題意得:拋物線為：y=-(x-)+,為：y=(x-n) +t.

  ∵E在拋物線上，∴t=-(n-)+.∵四邊形DFEG為菱形. ∴DF=FE=EG=DG

連ED,由拋物線的對(duì)稱性可知,ED=EF.∴△DEG與△DEF均為正三角形.∴D為拋物線的頂點(diǎn).∴D(,).∵DF∥x軸,且D、F關(guān)于直線x=n對(duì)稱.∴DF=2（n-）.

∵DEF為正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=.

∴t=-.∴存在點(diǎn)E，坐標(biāo)為E(,-).