Question

已知拋物線．
（1）求證：無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）若A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，求拋物線的解析式和n的值；
（3）若反比例函數(shù)的圖象與（2）中的拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，且滿足2＜x₀＜3，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：令．
得=m²-2m+4=（m-1）²+3．
∵不論m為任何實(shí)數(shù)，都有（m-1）²+3＞0，即△＞0．
∴不論m為任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．
．

（2）解：拋物線的對(duì)稱軸為：x=m-3，
∵拋物線上兩個(gè)不同點(diǎn)A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）的縱坐標(biāo)相同，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則．
∴m=2．
∴拋物線的解析式為．
∵A（n-3，n²+2）在拋物線上，
∴．
化簡(jiǎn)，得n²+4n+4=0．
∴n=-2．　　

（3）解：當(dāng)2＜x＜3時(shí)，
對(duì)于，y隨著x的增大而增大，
對(duì)于，y隨著x的增大而減�。�
所以當(dāng)x₀=2時(shí)，由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方，
得＞，
解得：k＞5．
當(dāng)x₀=3時(shí)，由二次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，
得＞，
解得k＜18．
所以k的取值范圍為：5＜k＜18．
分析：（1）根據(jù)原式等于0，利用根的判別式△＞0即可得出答案；
（2）首先利用拋物線上兩個(gè)不同點(diǎn)A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）的縱坐標(biāo)相同，得出點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則，進(jìn)而求出m的值，即可得出二次函數(shù)解析式，即可得出n的值；
（3）根據(jù)當(dāng)2＜x＜3時(shí)，對(duì)于，y隨著x的增大而增大，再利用x=2和3時(shí)y的值得出k的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)問題以及二次函數(shù)與不等式等知識(shí)，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征得出n的值是解題關(guān)鍵．