Question

（2002•陜西）如圖，已知點(diǎn)A（tanα，0），B（tanβ，0）在x軸正半軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，α、β是以線段AB為斜邊、頂點(diǎn)C在x軸上方的Rt△ABC的兩個(gè)銳角．
（1）若二次函數(shù)y=-x²-kx+（2+2k-k²）的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，求它的解析式；
（2）點(diǎn)C在（1）中求出的二次函數(shù)的圖象上嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABC中，由于∠α+∠β=90°，因此tanα•anβ=1，而A、B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理可得出tanα•tanβ=-（2+2k-k²）=1，據(jù)此可求出k的值，然后根據(jù)tanα+tanβ＞0，將不合題意的k值舍去，即可求出拋物線的解析式．
（2）本題的關(guān)鍵是求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)（1）可求出tanα、tanβ的值，以及A、B的坐標(biāo)，過(guò)C作CD⊥AB，可在直角三角形ACD中，用tanα和CD表示出AD，同理可表示出BD的長(zhǎng)，根據(jù)A、B的坐標(biāo)可得出AB的長(zhǎng)，根據(jù)AD+BD=AB即可求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AD和OD的長(zhǎng)，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中進(jìn)行判斷即可．
解答：解：（1）∵α、β是Rt△ABC的兩個(gè)銳角，
∴tanα•tanβ=1，tanα＞0，tanβ＞0，
由題意，知tanα，tanβ是方程-x²-kx+（2+2k-k²）=0的兩個(gè)根．
∴tanα•tanβ=-（2+2k-k²）=k²-2k-2=1，
∴k²-2k-2=1，
解得，k=3或k=-1；
而tanα+tanβ=-k＞0．
∴k＜0．
∴k=3（舍去），k=-1．
故所求的二次函數(shù)的解析式為y=-x²+x-1．

（2）不存在．
過(guò)C作CD⊥AB于D．
令y=0，得-x²+x-1=0．
解得x₁=，x₂=2．
∴A（，0），B（2，0），AB=
∴tanα=，tanβ=2．
設(shè)CD=m，則有CD=AD•tanα=AD，
∴AD=2CD．
又∵CD=BD•tanβ=2BD，
∴BD=CD，
∴2m+m=，
∴m=，
∴AD=．
∴C（，），
當(dāng)x=時(shí)，y=≠．
∴點(diǎn)C不在（1）求出的二次函數(shù)的圖象上．
點(diǎn)評(píng)：本題以二次函數(shù)為背景，考查了三角函數(shù)、韋達(dá)定理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)，難度適中．