Question

如圖，Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°在AC邊上取點(diǎn)O畫(huà)圓使⊙O經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，下列結(jié)論中：①；②；③以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑的圓與AB相切；④延長(zhǎng)BC交⊙O與D，則A、B、D是⊙O的三等分點(diǎn)．正確的序號(hào)是        ．

Answer 1

①③④

解析試題分析：連接OB，可得∠ABO=30°，則∠OBC=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得OC=OB=OA，再根據(jù)三角函數(shù)cos∠OBC=，則BC=OB，因?yàn)辄c(diǎn)O在∠ABC的角平分線上，所以點(diǎn)O到直線AB的距離等于OC的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理得直線AC是弦BD的垂直平分線，則點(diǎn)A、B、D將⊙O的三等分．
連接OB

∴OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=OB=OA，
即OA=2OC，
故①正確；
∵cos∠OBC=，
∴BC=OB，即BC=OA
故②錯(cuò)誤；
∵∠ABO=∠OBC=30°，
∴點(diǎn)O在∠ABC的角平分線上，
∴點(diǎn)O到直線AB的距離等于OC的長(zhǎng)，
即以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑的圓與AB相切；
故③正確；
延長(zhǎng)BC交⊙O于D，
∵AC⊥BD，
∴AD=AB，
∴△ABD為等邊三角形，

∴點(diǎn)A、B、D將⊙O的三等分．
故④正確．
故答案為①③④．
考點(diǎn)：直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，角平分線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)
點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，是中考常見(jiàn)題，需要學(xué)生熟練掌握平面圖形的基本概念，難度較大.