Question

(2006陜西課改，25)(12分)王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長為60cm的正方形板子；另一塊是上底為30cm，下底為120cm，高為60cm的直角梯形板子(如圖①)．王師傅想將這兩塊板子裁成兩塊全等的矩形板材，他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)分別與正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區(qū)域(如圖②)．由于受材料紋理的限制，要求裁出的矩形要以點(diǎn)B為一個(gè)頂點(diǎn)．

(1)求：FC的長：

(2)利用圖②求出矩形頂點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)到BC邊的距離x(cm)為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？

(3)若想使裁出的矩形為正方形，試求出面積最大的正方形的邊長．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)由題意，得ΔDEF∽ΔCGF， ∴，∴，∴FC=40(cm)(3分) (2)如圖，設(shè)矩形頂點(diǎn)B所對(duì)頂點(diǎn)為P，則①當(dāng)頂點(diǎn)P在AE上時(shí)，x=60，y的最大值為60×30=1800()．(4分) ②當(dāng)頂點(diǎn)P在EF上時(shí)，過點(diǎn)P分別作PN⊥BG于點(diǎn)N，PM⊥AB于點(diǎn)M． 根據(jù)題意，得ΔGFC∽ΔGPN． ∴，∴，∴． ∴． ∴當(dāng)x=40時(shí)，y的最大值為2 400()．(7分) ③當(dāng)頂點(diǎn)P在FC上時(shí)，y的最大值為60×40=2 400()(8分) 綜合①②③，得x=40cm時(shí)， 矩形的面積最大，最大面積為2 400(9分) (3)根據(jù)題意，正方形的面積y()與邊形x(cm)滿足的函數(shù)表達(dá)式為： ． 當(dāng)時(shí)，正方形的面積最大，∴． 解之，得(舍)，(cm)． ∴面積最大的正方形的邊長為48cm．(12分)