Question

（2013•石景山區(qū)一模）問題解決：
已知：如圖，D為AB上一動點，分別過點A、B作CA⊥AB于點A，EB⊥AB于點B，聯(lián)結(jié)CD、DE．
（1）請問：點D滿足什么條件時，CD+DE的值最小？
（2）若AB=8，AC=4，BE=2，設AD=x．用含x的代數(shù)式表示CD+DE的長（直接寫出結(jié)果）．
拓展應用：
參考上述問題解決的方法，請構(gòu)造圖形，并求出代數(shù)式

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由兩點之間線段最短可知：當點D、C、E三點在一條直線上時，CD+DE的值最�。�
（2）根據(jù)勾股定理計算即可；
（3）過點E作AB的平行線交CA的延長線于點F，再證明四邊形AFEB是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理即可出代數(shù)式

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值．

解答：解：（1）當點D、C、E三點在一條直線上時，CD+DE的值最小，
（2）CD+DE=

x2+16

+

(8-x)2+4

，
（3）如圖，令AB=4，AC=1，BE=2，設AD=x，則BD=4-x，
CD+DE=

AD2+AC2

+

BD2+BE2

=

x2+1

+

(4-x)2+4

，
∵D、C、E三點在一條直線上時，CD+DE的值最小，
∴CE的長即為

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值，
過點E作AB的平行線交CA的延長線于點F，
∵CA⊥AB于A，EB⊥AB于B，
∴AF∥BE，
∴四邊形AFEB是矩形，
∴AF=BE=2，EF=AB=4，
在Rt△CFE中，∠F=90°，CF=3，
∴

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值為5．

點評：本題考查了兩點之間線段最短的公理以及勾股定理的運用和矩形的判定及其性質(zhì)，題目的綜合性較強，難度中等．