Question

（2013•集美區(qū)一模）已知拋物線y1=-x2+bx+c（b≠0）與x軸正半軸交于A（c，0），與y軸交于B點(diǎn)，直線AB的解析式為y₂=mx+n．
（1）求m-n+b的值；
（2）若拋物線頂點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好在直線AB上，M是線段BA上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N．試問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度如何變化？

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式得到b=c-1；把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入直線AB的解析式求得m=-1，n=c，將其代入所求的代數(shù)式并求值即可；
（2）由（1）中的拋物線解析式可以求得頂點(diǎn)P（

c-1

2

，

c2+2c+1

4

），則易求頂點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P′（

1-c

2

，

c2+2c+1

4

）．由一次函數(shù)y₂=-x+c圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以
求得c=3．易求得y1=-x2+2x+3，y₂=-x+3．則MN=-(x，所以由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．

解答：解：（1）把A（c，0）代入拋物線得：-c²+bc+c=0，
如圖，∵A（c，0）在x軸正半軸，
∴c＞0，
∴b=c-1，
∵拋物線與y軸交于B點(diǎn)．
∴B（0，c）
把A（c，0）、B（0，c）分別代入y₂=mx+n得：

mc+n=0 n=c

，
解得：

m=-1 n=c

∴m-n+b=-1-c+c-1=-2；

（2）∴y1=-x2+(c-1)x+c，y₂=-x+c
∴頂點(diǎn)P（

c-1

2

，

c2+2c+1

4

）                 
∴頂點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P′（

1-c

2

，

c2+2c+1

4

）
把P′代入y₂=-x+c得：

c-1

2

+c=

c2+2c+1

4

解得：c₁=3，c₂=1（舍去）
∴當(dāng)c=3時(shí)，b=c-1=2；
當(dāng)c=1時(shí)，b=0；
∵b≠0
∴c=3，b=2，
∴y1=-x2+2x+3，y₂=-x+3
∵M(jìn)是線段AB上的點(diǎn)，
∴y₂≤y₁，0≤x≤3．
∵M(jìn)N∥y軸
∴MN=y1-y2=-x2+3x
∴MN=-(x
∵a=-1＜0，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=

3

2

∴當(dāng)0≤x≤

3

2

時(shí)，MN長(zhǎng)度隨著x增大而增大；
當(dāng)

3

2

≤x≤3時(shí)，MN長(zhǎng)度隨著x增大而減小．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．（2）中弄清線段MN長(zhǎng)度的函數(shù)意義是解題的關(guān)鍵．