Question

如圖1，直線AB：y=-

3

x+

3

與y軸、x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），（t＞1）．以BP為直徑畫圓，交直線AB于點(diǎn)E．

（1）求∠ABO的度數(shù)．
（2）當(dāng)t=5時，求BE的長．
（3）如圖2將△AOB沿直線AB翻折180°，得到△ABC．
①求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
②探究：當(dāng)t取何值時，△EPC和△AOB相似．

Answer 1

分析：（1）先由直線AB的解析式求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)值求∠ABO的度數(shù)；
（2）由∠EBP=∠ABO，已知BP，解直角三角形EBP求BE；
（3）①過點(diǎn)C作CM⊥OA于M，在直角三角形ACM中，已知AC及∠CAM的度數(shù)，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②要使△EPC和△AOB相似，而△AOB是有一個角為30°的直角三角形，只需△EPC也是有一個角為30°的直角三角形．由于∠CEP＜∠BEP=90°，所以有可能∠CPE=90°或者∠PCE=90°，然后分情況討論．

解答：解：（1）∵直線AB：y=-

3

x+

3

與y軸、x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（0，

3

），B（1，0）．
在直角△AOB中，∵tan∠ABO=

OA

OB

=

3

，
∴∠ABO=60°；

（2）當(dāng)t=5時，BP=4，
在直角△EBP中，∠BEP=90°，∠EBP=∠ABO=60°，
∴BE=

1

2

BP=2；

（3）①過點(diǎn)C作CM⊥OA于M．
∵將△AOB沿直線AB翻折180°，得到△ABC，
∴△AOB≌△ACB，
∴∠OAB=∠CAB=30°，AO=AC=

3

，
∴∠MAC=60°．
在直角三角形ACM中，∠AMC=90°，AC=

3

，∠CAM=60°，
∴CM=

3

2

，AM=

3

2

，
∴OM=OA-AM=

3

2

．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

）；
②∵△EPC和△AOB相似，∠CEP＜∠BEP=90°，
∴可能∠CPE=90°或者∠PCE=90°，且△EPC有一個角為30°．
設(shè)E（x，-

3

x+

3

），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0）．
過點(diǎn)E作EN⊥OP于N，由射影定理，得EN²=BN•NP，
即（-

3

x+

3

）²=（x-1）（t-x），
整理，得t=4x-3．
分如下幾種情況：
第一種：如果∠CPE=90°，∠CEP=30°，那么CP=

1

2

CE，
即

(t- 3 2 )2+ ( 3 2 )2

=

1

2

(x- 3 2 )2+( 3 2 + 3 x- 3 )2

，
整理，得20x²-46x+27=0，
∵△=（-46）²-4×20×27＜0，
∴原方程無解；
第二種：如果∠CPE=90°，∠ECP=30°，那么EP=

1

2

CE，
即

(t-x)2+( 3 x- 3 )2

=

1

2

(x- 3 2 )2+( 3 2 + 3 x- 3 )2

，
整理，得44x²-90x+45=0，
∵△=（-90）²-4×44×45=180，
∴x=

45±3 5

44

，
∴t=4x-3=

12±3 5

11

，
又∵t＞1，
∴t=

12+3 5

11

；
第三種：如果∠PCE=90°，∠CEP=30°，那么CP=

1

2

PE，
即

(t- 3 2 )2+ ( 3 2 )2

=

1

2

(t-x)2+( 3 x- 3 )2

，
整理，得13x²-30x+18=0，
∵△=（-30）²-4×13×18＜0，
∴原方程無解；
第四種：如果∠PCE=90°，∠CPE=30°，那么CE=

1

2

PE，
即

(x- 3 2 )2+( 3 2 + 3 x- 3 )2

=

1

2

(t-x)2+( 3 x- 3 )2

，
整理，得x²=0，
∴x=0，
∴t=4x-3=-3，不合題意舍去，
∴原方程無解．
綜上，可知當(dāng)t=

12+3 5

11

時，△EPC和△AOB相似．

點(diǎn)評：本題主要考查了一次函數(shù)，直角三角形、全等三角形、相似三角形的知識，綜合性強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用分類討論的思想解決最后一問是解題的關(guān)鍵．