Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為C(1，4)，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)P為直線BD上方拋物線上一點(diǎn)，若，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）如圖3，M為線段AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，若△DNM∽△BMD，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,4）或（2,3）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）.

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）2+4，然后將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線的解析式；
(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PQ//y軸交DB于Q，求出直線BD的解析式，設(shè)P(m, -m2+2m+3)，則Q(m,-m+3)，得到S△PBD =-m2+m，又，解方程求出m的值，再求點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；

(3)設(shè)M(c,0),由△AMN∽△AMD,得到,得出MN=，DM=，再由△DNM∽△BMD，得到，即9+c2=×,求解即可的出答案.

（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：y=a（x-1）2+4，

將點(diǎn)B（3，0）代入，得：（3-1）2a+4=0

解得：a=-1

∴解析式為：y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3

(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PQ//y軸交DB于Q，

∵拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,3），

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,

把D(0,3)和B(3,0)代入y=kx+b得，，

解得：

∴直線BD的解析式為y=-x+3,

設(shè)P(m, -m2+2m+3)，則Q(m,-m+3)．
∴PQ=-m2+2m+3(-m+3)= -m2+3m,
又∵S△PBD=S△PQD+S△PQB
=mPQ+ (3m)PQ=PQ×3=PQ=-m+m，
∵,

∴-m2+m=3

解得：m1=1,m2=2,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,4）或（2,3）

(3) ∵BD=,設(shè)M(c,0),

∵MN∥BD,

∴△AMN∽△AMD,

∴,即，

∴MN=，DM=，

∵△DNM∽△BMD，

∴,即DM2=BD·MN,

∴9+c2=×,

解得：c=或c=3(舍去)，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）.