Question

如圖，△ABC是等邊三角形，且AD•ED=BD•CD．
（1）求證：△ABD∽△CED；
（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD•ED=BD•CD可知=，再根據∠ADB=∠CDE即可得出結論；
（2）過點D作DF⊥AB于點F，由（1）知△ABD∽△CED，再根據AB=6，AD=2CD可得出DE：BD=1：2，再根據△ABC是等邊三角形可求出AD的長∠A的度數，根據直角三角形的性質求出DF及AF的長，進而可得出BF的長，在Rt△ADF中，根據勾股定理可求出BD的長，設DE=x，則BD=2x，可求出x的長，進而得出結論．
解答：（1）證明：∵AD•ED=BD•CD，
∴=，
∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；

（2）解：過點D作DF⊥AB于點F，
∵△ABC是等邊三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，
∴==，
∴AD=×6=4，CD=2，∠A=60°，
∴DF=AD•sinA=4×=2，AF=AD•cosA=4×=2，
∴BF=AB-AF=6-2=4，
在Rt△ADF中，
∵BF=4，DF=2，
∴BD===2，
∵==，
∴設DE=x，則BD=2x，
∴2x=2，解得x=，
∴BE=BD+DE=2x+x=3x=3．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，涉及到等邊三角形的性質、直角三角形的性質等相關知識，難度適中．