Question

【題目】如圖1在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線y=a（x+1）（x﹣3）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且∠ABC=45°．

（1）求a的值；
（2）如圖2，點(diǎn)D在線段BC上（不與C重合），當(dāng)AD=AC時(shí)，求D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如圖3，在（2）的條件下，E為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，過(guò)E作EF∥AD與AC相交于點(diǎn)F，當(dāng)EF被BC平分時(shí)，求點(diǎn)E坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y=a（x+1）（x﹣3），

令y=0，則有a（x+1）（x﹣3）=0，

解得：x=﹣1，或x=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵∠ABC=45°，∠BOC=90°，

∴OB=OC=3，

∴C（0，3），

將點(diǎn)C（0，3）代入二次函數(shù)解析式得：

3=a×（0+1）×（0﹣3），

解得：a=﹣1

（2）

解：∵點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B（3，0），

∴AC= ，

又∵∠ABC=45°，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），

由兩點(diǎn)間的距離公式可知：AD= ，

∵AD=AC= ，

∴有 = ，

解得：m=0（舍去），m=2，

此時(shí)﹣m+3=﹣2+3=1．

故當(dāng)AD=AC時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）

（3）

解：設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，

將A（﹣1，0），D（2，1）代入，得

，解得 ．

∴直線AD的解析式為y= x+ ．

∵EF∥AD，

∴設(shè)直線EF的解析式為y= x+c．

令﹣x+3= x+c，則有x= （3﹣c）．

將y= x+c代入y=﹣1（x+1）（x﹣3）中，得

﹣（3﹣c）=0，

由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1+x2=﹣ = ．

∵EF被BC平分，

∴EF與BC的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，

即 （3﹣c）×2= ，解得：c= ．

解方程 ﹣（3﹣ ）=0，得：x1= ，x2= ．

∵點(diǎn)E在第一象限，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為 ．

將x= 代入y= x+ 中得，y= ．

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ， ）

【解析】（1）通過(guò)拋物線解析式求出點(diǎn)AB坐標(biāo)，利用等腰直角三角形性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線即可求出a值；（2）由B、C點(diǎn)坐標(biāo)可得出直線BC的解析式，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)（m，﹣m+3），由兩點(diǎn)間的距離公式可表示出AD的長(zhǎng)度，再由AC=AD找出關(guān)于m的一元二次方程，解方程求出m的值，代入到D點(diǎn)坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．（3）由A、D點(diǎn)坐標(biāo)可得出直線AD的解析式，由EF平行AD設(shè)出直線EF的解析式，代入到拋物線中可得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和，再由直線EF和BC的解析式可找出交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)EF被BC平分，可知交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍為前面一元二次方程的兩根之和，解方程即可得出直線EF的解析式，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．即可以解答此題．