Question

小華將一張矩形紙片（如圖1）沿對角線CA剪開，得到兩張三角形紙片（如圖2），其中∠ACB=α，然后將這兩張三角形紙片按如圖3所示的位置擺放，△EFD紙片的直角頂點D落在△ACB紙片的斜邊AC上，直角邊DF落在AC所在的直線上．
（1）若ED與BC相交于點G，取AG的中點M，連接MB、MD，當(dāng)△EFD紙片沿CA方向平移時（如圖3），請你觀察、測量MB、MD的長度，猜想并寫出MB與MD的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；
（2）在（1）的條件下，求出∠BMD的大小（用含α的式子表示），并說明當(dāng)α=45°時，△BMD是什么三角形；
（3）在圖3的基礎(chǔ)上，將△EFD紙片繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角度小于90°），此時△CGD變成△CHD，同樣取AH的中點M，連接MB、MD（如圖4），請繼續(xù)探究MB與MD的數(shù)量關(guān)系和∠BMD的大小，直接寫出你的猜想，不需要證明，并說明α為何值時，△BMD為等邊三角形．

Answer 1

解：（1）MB=MD，
證明：∵AG的中點為M∴在Rt△ABG中，MB=AG
在Rt△ADG中，MD=AG
∴MB=MD．

（2）∵∠BMG=∠BAM+∠ABM=2∠BAM，
同理∠DMG=∠DAM+∠ADM=2∠DAM，
∴∠BMD=2∠BAM+2∠DAM=2∠BAC，
而∠BAC=90°-α，
∴∠BMD=180°-2α，
∴當(dāng)α=45°時，∠BMD=90°，此時△BMD為等腰直角三角形．

（3）當(dāng)△CGD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，仍然存在MB=MD，
∠BMD=180°-2α，
故當(dāng)α=60°時，△BMD為等邊三角形．
解法：延長DM至N，使MN=DM，連AN、BN、BD，則有AN=DH，∠NAM=∠DHM

∵∠1=∠AHD+∠2
∴∠BAM+90°=∠AHD+90°-∠DCB，
∴∠NAB=∠DCB，
∵∠CDH=∠ABC=90°，∠DCH=∠BCA，
∴△CDH∽△CBA，
∴DH：AB=CD：BC，
∴AN：AB=CD：BC，
∴△NAB∽△DCB，
∴∠NBA=∠DBC
∴∠NBD=90°，
∴BM=MD，
由△NAB∽△DCB得NB：AB=BD：BC
∴△NBD∽△ABC，
∴∠BNM=∠BAC，
∵∠BMD=2∠BNM
∴∠BMD=2（90°-α）=180°-2α．
分析：（1）易得MB和DM分別是直角三角形ABG和直角三角形ADG斜邊上的中線，都等于AG的一半，那么BM=DM．
（2）把∠BMD進行合理分割，應(yīng)用外角等于內(nèi)角和，得到∠BMD與∠BAD之間的關(guān)系，進而得到與∠ACB即∠α之間的關(guān)系，當(dāng)∠α=45°時，∠BMD=90°，那么△BMD為等腰直角三角形．
（3）通過類比思想可猜想MB與MD的數(shù)量關(guān)系和∠BMD的大小結(jié)論依然成立．那么只有當(dāng)∠α=60°時，△BMD為等邊三角形．
點評：此題是一道集剪接、平移、旋轉(zhuǎn)為一體的直線形操作探究題，學(xué)生可以用自己身邊的直觀模型（將一矩形紙片剪開，得到兩個全等的直角三角形紙片），按照第（1）問中的操作要求實際進行操作演示，在操作、觀察、度量的基礎(chǔ)上再進行論證，較好地體現(xiàn)了從感性認識到理性認識的思維過程．第（2）問運用直線形的有關(guān)知識不難得出結(jié)論．第（3）問必須在第（1）、（2）問的基礎(chǔ)上再進行觀察、猜想、歸納、總結(jié)出一般規(guī)律．此題既考查了直線形的有關(guān)知識，又考查了學(xué)生操作、觀察、驗證、推理的能力，不愧是一道獨具匠心的試題．它給我們的啟示是：在平時教學(xué)中要多給學(xué)生提供從事數(shù)學(xué)活動的機會，積極引導(dǎo)學(xué)生參與實踐操作活動，培養(yǎng)他們的積極動手、樂于探究的意識．