Question

【題目】如圖,直線y=x+3分別交 x軸、y軸于點A、C.點P是該直線與雙曲線在第一象限內的一個交點,PB⊥x軸于B,且S△ABP=16.

（1）求證:△AOC∽△ABP；

（2）求點P的坐標；

（3）設點Q與點P在同一個反比例函數(shù)的圖象上,且點Q在直線PB的右側,作QD⊥x軸于D,當△BQD與△AOC相似時,求點Q的橫坐標.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點P的坐標為（2，4）；（3）點Q的橫坐標為：或.

【解析】

（1）利用PB∥OC，即可證明三角形相似；

（2）由一次函數(shù)解析式，先求點A、C的坐標，由△AOC∽△ABP，利用線段比求出BP，AB的值，從而可求出點P的坐標即可；

（3）把P坐標代入求出反比例函數(shù)，設Q點坐標為（n，），根據(jù)△BQD與△AOC相似分兩種情況，利用線段比聯(lián)立方程組求出n的值，即可確定出Q坐標．

（1）證明：∵PB⊥ x軸，OC⊥x軸，

∴OC∥PB，

∴△AOC∽△ABP；

（2）解：對于直線y=x+3，

令x=0，得y=3；

令 y=0，得x=-6 ；

∴A(-6，0)，C(0，4)，

∴OA=6，OC=3.

∵△AOC∽△ABP，

∴，

∵S△ABP=16，S△AOC=，

∴，

∴，即，

∴PB=4，AB=8，

∴OB=2，

∴點P的坐標為：（2，4）.

（3）設反比例函數(shù)的解析式為：y=，

把P(2，4)代入，得k=xy=2×4=8，

∴y=.

點Q在雙曲線上，可設點Q的坐標為：（n，）(n＞2)，

則BD=，QD=，

①當△BQD∽△ACO時，，

即，

整理得：，

解得：或；

②當△BQD∽△CAO時，，

即，

整理得：，

解得：，（舍去），

綜上①②所述，點Q的橫坐標為：1+或1+.