Question

如圖，△ABC中，內切圓O和邊BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，則以下四個結論中，錯誤的結論是（　　）

• A、點O是△DEF的外心
• B、∠AFE=

  1

  2

  （∠B+∠C）
• C、∠BOC=90°+

  1

  2

  ∠A
• D、∠DFE=90°一

  1

  2

  ∠B

Answer 1

分析：首先連接如圖所示的輔助線．采用排除法，證明A、B、C選項，從而錯誤的選擇D．在證明中運用弦切角定理，直角三角形的兩直角邊所對的角互余．

解答：解：A、∵點O是△ABC的內心
∴OE=OD=OF
∴點O也是△DEF的外心
∴該選項正確；
B、∵∠AFE=∠EDF（弦切角定理）
在Rt△BOD中，∠BOD=90°-∠OBD=90°-

1

2

∠B
同理∠COD=90°-

1

2

∠C
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=180°-

1

2

(∠C+∠B)，即∠BOC=180°-

1

2

(∠C+∠B)
在四邊形MOND中，

OM⊥FD ON⊥ED

?∠BOC+∠MDN=180°?∠MDN=180°-∠BOC，即∠BOC=180°-∠EDF
∴∠AFE=

1

2

（∠B+∠C）
故該選項正確；
C、∵∠AFE=∠EDF（弦切角定理），
∵在Rt△AFO中，∠AFE=90°-∠FAO=90°-

1

2

∠A，
由上面B選項知∠MDN=180°-∠BOC=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A，
故該選項正確；
故選D．

點評：本題考查三角形內切圓與內心、三角形外接圓與外心、弦切角定理．同學們需注意對于選擇題目，采用排除法是一種很好的方法．