Question

如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為E，并交⊙O于D．
（1）求證：

PC

CE

=

PB

BE

；
（2）若點(diǎn)E是線段PA的中點(diǎn)，求∠P的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）此題要通過(guò)兩步相似來(lái)求解：連接AC、BC，易證得△ACE∽△BCE，則AC：BC=CE：BE，因此只需證得AC：BC=PC：PB即可，那么證明這些比例線段所在的三角形相似即可，即證△PCB∽△PAC；
（2）若E是線段PA的中點(diǎn)，那么CE垂直平分AP，則AC=CP，∠A=∠P，由弦切角定理知∠PCB=∠A，則∠ABC=2∠P=2∠A，即可在Rt△ABC中，求得∠A即∠P的度數(shù)．

解答：（1）證明：連接AC、BC，則∠ACB=90°
∵∠EAC=∠BCE=90°-∠ACE，
∴Rt△AEC∽R(shí)t△CEB，
∴

AC

BC

=

CE

BE

∵PC是⊙O的切線，
∴∠PCB=∠A，又∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴

AC

BC

=

PC

PB

，即

CE

BE

=

PC

PB

，
∴

PC

CE

=

PB

BE

；

（2）解：∵E是AP的中點(diǎn)，且CE⊥AP，
∴AC=PC，∠A=∠P；
∵∠PCB=∠A=∠P，
∴∠ABC=2∠P=2∠A；
在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，即3∠A=90°，
∴∠P=∠A=30°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：圓周角定理、弦切角定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)；難點(diǎn)在于（1）題，能夠通過(guò)兩步相似來(lái)得到與所求相關(guān)的比例線段，是解決此題的關(guān)鍵．