Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，DAB 60°，E是AD上不同于A，D兩點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，F是CD上一點(diǎn)，且AECF1．

（1）證明：無(wú)論E，F怎樣移動(dòng)，BEF總是等邊三角形；

（2）求BEF 面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接，得到是等邊三角形，由菱形邊長(zhǎng)為1和，可得，利用邊角邊可以證明≌，利用全等三角形的性質(zhì)推導(dǎo)可得為等邊三角形；

（2）利用的邊長(zhǎng)表示，可知當(dāng)的邊長(zhǎng)BE最小時(shí)就最小，可得當(dāng)時(shí)BE最小，利用勾股定理求出，即可求得最小值．

解：（1）如圖，連接，

∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，

∴

，

是等邊三角形，

，，

∴

∵，

，

在和中，

，

，

∴，，

∴，即，

是等邊三角形．

（2）如圖，取BE中點(diǎn)為H，連結(jié)FH，

∵為等邊三角形，

∴FG⊥BE，

設(shè)BE=EF=BF=a，則FG=，

∴，

∴當(dāng)的邊長(zhǎng)最小時(shí)，取得最小值，此時(shí)BE⊥AD，

∴，

∴面積的最小值=．