Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c均為實數(shù)且a≠0）滿足條件：對任意實數(shù)x都有y≥2x；且當0＜x＜2時，總有y≤

1

2

(x+1)2成立．
（1）求a+b+c的值；
（2）求a-b+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題干給出的條件可知兩個條件都滿足可以發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)經(jīng)過一個定點．就可以求出答案；
（2）根據(jù)判別式和圖象法，就能求出取值范圍．

解答：解：（1）由題意可知對任意實數(shù)x都有y≥2x，
∴當x=1時，y≥2；
且當0＜x＜2時，總有y≤

1

2

(x+1)2成立，
故當x=1，y≤2，
∴當x=1時，y=2，故二次函數(shù)y=ax²+bx+c經(jīng)過（1，2）點，
∴a+b+c=2；

（2）ax²+bx+c≥2x，
ax²+（b-2）x+c≥0，
由（1）知b=2-a-c，代入得△=（a+c）²-4ac≥0，（a-c）²≥0，
所以c=a，b=2-2a．
再列得ax²+bx+c≤

1

2

（x+1）²，把c=a，b=2-2a代入可得 （a-

1

2

）x²-2（a-

1

2

）x+a-

1

2

≤0，（a-

1

2

）（x-1）²≤0，
因為0＜x＜2，（x-1）≥0，
故a≤

1

2

．
根據(jù)圖象法可得此拋物線要永遠在y=2x這條一次函數(shù)上方滿足a＞0．
綜上所述，a的取值范圍是0＜a≤

1

2

，a-b+c=4a-2，把a的取值范圍代入可得-2＜a-b+c≤0．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的圖象問題，這是一道思維性很強的題，有很多同學思考不到位．