Question

一元二次方程一般形式：ax²+bx+c=0，（a≠0）兩根記為x₁，x₂滿足x₁₊x₂=-

b

a

，x₁x₂₌

c

a

，試用上述知識(shí)解決問題：設(shè)x₁、x₂是方程2x²-3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求：
①x₁+x₁x₂+x₂
②

1

x1

+

1

x2

         
③3x₁²-3x₁+x₂²．

Answer 1

分析：由x₁、x₂是方程2x²-3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，并將x=x₁代入得到一個(gè)關(guān)系式，
①將所求式子第1、3項(xiàng)結(jié)合，把得出的兩根之和與兩根之積代入即可求出值；
②將所求式子通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，把得出的兩根之和與兩根之積代入即可求出值；
③將所求式子第1項(xiàng)拆項(xiàng)后整體代換，并利用完全平方公式變形，把得出的兩根之和與兩根之積代入即可求出值．

解答：解：∵x₁、x₂是方程2x²-3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=

3

2

，x₁x₂=-

1

2

，2x₁²-3x₁=1，
①x₁+x₁x₂+x₂=（x₁+x₂）+x₁x₂=

3

2

-

1

2

=1；
②

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

3 2

- 1 2

=-3；
③3x₁²-3x₁+x₂²=2x₁²-3x₁+x₁²+x₂²=1+（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1+

9

4

-（-1）=4

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），若方程有解時(shí)，設(shè)方程的兩解分別為x₁、x₂，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．