Question

【題目】定義：如圖，把經(jīng)過拋物線 (，， ，為常數(shù))與軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn)的直線稱為拋物線的“伴線”，若拋物線與軸交于，兩點(diǎn)(在的右側(cè))，經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線稱為拋物線的“標(biāo)線”．

(1)已知拋物線，求伴線的解析式．

(2)若伴線為，標(biāo)線為，

①求拋物線的解析式；

②設(shè)為“標(biāo)線”上一動(dòng)點(diǎn)，過作平行于“伴線”，交“標(biāo)線”上方的拋物線于，求線段長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②時(shí)，有最大值

【解析】

（1）先根據(jù)拋物線解析式及其圖象求出A、B、C、M的坐標(biāo)，再根據(jù)“伴線”是過拋物線 (，， ，為常數(shù))與軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn)的直線，可設(shè)“伴線”為，再把點(diǎn)C、M代入即可求解；

（2）①根據(jù)“伴線”解析式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而求出“標(biāo)線”解析式和點(diǎn)B坐標(biāo)，將點(diǎn)B、C代入拋物線解析式可得原拋物線的頂點(diǎn)式：，繼而得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再將拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)代入伴線解析式，解方程求得a的值，繼而求得拋物線解析式；

②設(shè)點(diǎn)，根據(jù)平行于“伴線”，可設(shè)的直線解析式為，與拋物線聯(lián)立可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得PQ的長度為關(guān)于m的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即為PQ的最大值．

(1) ∵

令,則，解得：，

∴，，

令，則，

∴，

∵

將代入拋物線解析式可得

∴頂點(diǎn)，

設(shè)伴線為，把點(diǎn)，代入得：

解得：

∴伴線的解析式為：；

(2)①伴線為，

令x＝0，則y＝﹣3，

∴，

∵標(biāo)線為，則，

∴，

∴標(biāo)線解析式為：，

令y＝0，則x＝3，

∴，

將點(diǎn)，代入，

∴，，

∴，

∴拋物線頂點(diǎn)，

∴將點(diǎn)M代入伴線，得：，

整理得：，

解得：或（當(dāng)時(shí)，，故舍去），

∴拋物線解析式為：；

②設(shè)點(diǎn)，

∵平行于“伴線”，

∴的直線解析式為，

與拋物線的交點(diǎn)，

∴，

∴，

∵，

∴當(dāng)，即時(shí)，有最大值