Question

（2013•閘北區(qū)二模）已知：如圖，拋物線y=x²-2x+3與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)是點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸于點(diǎn)B．平移該拋物線，使其經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求平移后拋物線的解析式及其與x軸另一交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)D是直線OP上的一個(gè)點(diǎn)，如果∠CDP=∠AOP，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)，再根據(jù)平移變換不改變拋物線的形狀，設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x²+bx+c，然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求出b、c的值，從而得到平移后的拋物線解析式，再令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）先求出直線OP的解析式，然后分點(diǎn)D在第一象限時(shí)，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行求出CD₁∥y軸可得CD₁⊥x軸，從而求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)坐標(biāo)是3，然后代入直線OP的解析式，計(jì)算即可求出點(diǎn)D₁的坐標(biāo)；點(diǎn)D在第三象限時(shí)，求出∠CD₁P=∠CD₂P，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CD₁=CD₂，設(shè)D₂（x，2x），然后利用勾股定理列式計(jì)算求出x的值，即可得解．

解答：解：（1）令x=0，則y=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），
∵y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴頂點(diǎn)P（1，2）、B（1，0），
設(shè)平移后拋物線的解析式為y=x²+bx+c，
將點(diǎn)A（0，3）、B（1，0）的坐標(biāo)代入得，

c=3 1+b+c=0

，
解得

b=-4 c=3

，
∴平移后拋物線的解析式為拋物線y=x²-4x+3，
令y=0，則x²-4x+3=0，
解得，x₁=1，x₂=3，
所以，點(diǎn)C（3，0）；

（2）如圖，直線OP過(guò)P（1，2），
所以，直線OP解析式為y=2x，
①點(diǎn)D在第一象限時(shí)，∵∠CD₁P=∠AOP，
∴CD₁∥y軸，
∴CD₁⊥x軸，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，都是3，
x=3時(shí)，y=2×3=6，
∴點(diǎn)D₁（3，6），
②點(diǎn)D在第三象限時(shí)，
∵∠CD₁P=∠AOP，∠CD₂P=∠AOP，
∴∠CD₁P=∠CD₂P，
∴CD₁=CD₂，且CD₂=CD₁=6，
設(shè)D₂（x，2x），則

(x-3)2+(2x)2

=6，
整理得，5x²-6x-27=0，
解得x₁=3（為點(diǎn)D₁，舍去），x₂=-

9

5

，
所以，點(diǎn)D₁（3，6）、D₂（-

9

5

，-

18

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平移只改變只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，（2）要注意分情況討論．