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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點O為AD上一動點(4<OA<8),以O為圓心,OA的長為半徑的圓交邊CD于點M,連接OM,過點M作⊙O的切線交邊BC于N.

          (1)求證:△ODM∽△MCN;
          (2)設DM=x,求OA的長(用含x的代數式表示);
          (3)在點O的運動過程中,設△CMN的周長為P,試用含x的代數式表示P,你能發(fā)現(xiàn)怎樣的結論?

          【答案】
          (1)證明:∵MN切⊙O于點M,

          ∴∠OMN=90°;

          ∵∠OMD+∠CMN=90°,∠CMN+∠CNM=90°;

          ∴∠OMD=∠MNC;

          又∵∠D=∠C=90°;

          ∴△ODM∽△MCN


          (2)解:在Rt△ODM中,DM=x,設OA=OM=R;

          ∴OD=AD﹣OA=8﹣R,

          由勾股定理得:(8﹣R)2+x2=R2

          ∴64﹣16R+R2+x2=R2,


          (3)解法一:∵CM=CD﹣DM=8﹣x,

          又∵ ,

          且有△ODM∽△MCN,

          ∴代入得到 ;

          同理 ,

          ∴代入得到 ;

          ∴△CMN的周長為P= =(8﹣x)+(x+8)=16.

          發(fā)現(xiàn):在點O的運動過程中,△CMN的周長P始終為16,是一個定值.

          解法二:在Rt△ODM中,

          設△ODM的周長P′= ;

          而△MCN∽△ODM,且相似比 ;

          ,

          ∴△MCN的周長為P=

          發(fā)現(xiàn):在點O的運動過程中,△CMN的周長P始終為16,是一個定值.


          【解析】(1)由“兩角法”易證相似;(2)由勾股定理構建方程(8﹣R)2+x2=R2,解方程可表示出OA;(3)△CMN的周長為P= C M + C N + M N,分別用x的代數式表示CM、CN、MN,相加得出是定值16.
          【考點精析】認真審題,首先需要了解相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方).

          練習冊系列答案
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          根據上圖填寫下表:

          平均數

          中位數

          眾數

          甲班

          ______

          乙班

          ______

          8

          ______

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          根據以上統(tǒng)計信息,解答下列問題:

          1)求成績是優(yōu)的人數占抽取人數的百分比;

          2)求本次隨機抽取問卷測試的人數;

          3)請把條形統(tǒng)計圖補充完整;

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