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        1. 【題目】如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點(diǎn)O為AD上一動(dòng)點(diǎn)(4<OA<8),以O(shè)為圓心,OA的長為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M,連接OM,過點(diǎn)M作⊙O的切線交邊BC于N.

          (1)求證:△ODM∽△MCN;
          (2)設(shè)DM=x,求OA的長(用含x的代數(shù)式表示);
          (3)在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)△CMN的周長為P,試用含x的代數(shù)式表示P,你能發(fā)現(xiàn)怎樣的結(jié)論?

          【答案】
          (1)證明:∵M(jìn)N切⊙O于點(diǎn)M,

          ∴∠OMN=90°;

          ∵∠OMD+∠CMN=90°,∠CMN+∠CNM=90°;

          ∴∠OMD=∠MNC;

          又∵∠D=∠C=90°;

          ∴△ODM∽△MCN


          (2)解:在Rt△ODM中,DM=x,設(shè)OA=OM=R;

          ∴OD=AD﹣OA=8﹣R,

          由勾股定理得:(8﹣R)2+x2=R2,

          ∴64﹣16R+R2+x2=R2,


          (3)解法一:∵CM=CD﹣DM=8﹣x,

          又∵ ,

          且有△ODM∽△MCN,

          ,

          ∴代入得到

          同理 ,

          ∴代入得到 ;

          ∴△CMN的周長為P= =(8﹣x)+(x+8)=16.

          發(fā)現(xiàn):在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中,△CMN的周長P始終為16,是一個(gè)定值.

          解法二:在Rt△ODM中, ,

          設(shè)△ODM的周長P′=

          而△MCN∽△ODM,且相似比

          ,

          ∴△MCN的周長為P=

          發(fā)現(xiàn):在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中,△CMN的周長P始終為16,是一個(gè)定值.


          【解析】(1)由“兩角法”易證相似;(2)由勾股定理構(gòu)建方程(8﹣R)2+x2=R2,解方程可表示出OA;(3)△CMN的周長為P= C M + C N + M N,分別用x的代數(shù)式表示CM、CN、MN,相加得出是定值16.
          【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方).

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,已知在正方形ABCD中,AE∥BD,BE=BD,BE交AD于F.求證:DE=DF.

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          【題目】2018929日,由北京外交人員服務(wù)局主辦、北京外交人員房屋服務(wù)公司、北京市乒乓球運(yùn)動(dòng)協(xié)會(huì)承辦的首屆中外外交官友誼杯乒乓球賽在北京齊家園外交公寓體育運(yùn)動(dòng)中心舉辦,為了紀(jì)念這次活動(dòng),某校開展了乒乓球知識(shí)競賽,八年級(jí)甲、乙兩班分別選5名同學(xué)參加比賽,其成績?nèi)鐖D所示:

          根據(jù)上圖填寫下表:

          平均數(shù)

          中位數(shù)

          眾數(shù)

          甲班

          ______

          乙班

          ______

          8

          ______

          已知甲班5名同學(xué)成績的方差是,計(jì)算乙班同學(xué)成績的方差,并比較哪個(gè)班選手的成績較為穩(wěn)定?

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          1AEFC會(huì)平行嗎?說明理由.

          2ADBC的位置關(guān)系如何?為什么?

          3BC平分∠DBE嗎?為什么?

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          (1)求反比例函數(shù)的解析式;
          (2)若一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)B,且△AOB的面積為3,求一次函數(shù)的解析式.

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          根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)信息,解答下列問題:

          1)求成績是優(yōu)的人數(shù)占抽取人數(shù)的百分比;

          2)求本次隨機(jī)抽取問卷測試的人數(shù);

          3)請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

          4)若該校學(xué)生人數(shù)為3000人,請(qǐng)估計(jì)成績是優(yōu)的學(xué)生共有多少人?

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          【題目】如圖,在中,,的垂直平分線于點(diǎn),交于點(diǎn)

          1)若,求的度數(shù);

          2)若,的周長為,求的長.

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          【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合,點(diǎn)By軸的正半軸上,點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為.將菱形ABCD沿x軸正方向平移____個(gè)單位,可以使菱形的另一個(gè)頂點(diǎn)恰好落在該函數(shù)圖象上.

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          1)求 A,B 兩點(diǎn)的坐標(biāo);

          2)證明:ABC 是直角三角形;

          3)在 x 軸上找一點(diǎn) P,使BCP 是以 BC 為底邊的等腰三角形,求出 P 點(diǎn)坐標(biāo).

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