Question

（2012•隨州模擬）如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以C為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABC到△DCE位置，使點(diǎn)A落在BC邊的延長(zhǎng)線上的E處，連接AD和BD．
（1）求證：△ADC≌△BCD；
（2）請(qǐng)判斷△ABE的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，理由等邊對(duì)等角得到一對(duì)底角相等，再利用內(nèi)角和定理求出底角的度數(shù)，再由順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABC到△DCE位置，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形DEC與三角形ABC全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等及對(duì)應(yīng)角相等得到AB=AC=DE=CE，BC=DC，∠DCE=∠ABC=72°，由BC=DC得到三角形BCD為等腰三角形，由三角形的內(nèi)角和定理求出∠DBC為36°，與∠E相等，利用等角對(duì)等邊得到DB=DE，而DE=AC，故得到BD=AC，利用SAS可得出三角形ADC與三角形BCD全等；
（2）△ABE為等腰三角形，理由為：由第一問得出的三角形ADC與BCD全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠ADC=108°，而∠CDE=72°，得出兩角互補(bǔ)，即為鄰補(bǔ)角，進(jìn)而確定出A、D、E三點(diǎn)共線，由∠BAC+∠CAD求出∠BAE的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)與∠ABE的度數(shù)相等，利用等角對(duì)等邊可得出EA=EB，即三角形ABE為等腰三角形．

解答：解：（1）證明：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
由旋轉(zhuǎn)可得：△EDC≌△ABC，
∴∠DCE=∠ABC=72°，BC=DC，DE=AB=AC，
又B、C、E三點(diǎn)共線，
∴∠BCD=108°，
∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=36°，
又∠E=36°，
∴∠DBE=∠E，
∴BD=ED，
∴BD=CA，
在△ADC和△BCD中，

AC=BC ∠ACD=∠CBD=36° CD=CB

，
∴△ADC≌△BCD（SAS）；
（2）△ABE為等腰三角形，理由為：
證明：∵△ADC≌△BCD，
∴∠ADC=∠BCD=108°，又∠CDE=72°，
∴∠ADC+∠CDE=180°，即A、D、E三點(diǎn)共線，
又∠BAE=∠BAC+∠CAD=72°，∠ABE=72°，
∴∠BAE=∠ABE，
∴AE=BE，即△ABE為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．