Question

【題目】已知過原點(diǎn)O的兩直線與圓心為M（0，4），半徑為2的圓相切，切點(diǎn)分別為P、Q，PQ交y軸于點(diǎn)K，拋物線經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為N（0，6），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求拋物線解析式；
（3）在直線y=nx+m中，當(dāng)n=0，m≠0時，y=m是平行于x軸的直線，設(shè)直線y=m與拋物線相交于點(diǎn)C、D，當(dāng)該直線與⊙M相切時，求點(diǎn)A、B、C、D圍成的多邊形的面積（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵⊙M與OP相切于點(diǎn)P，

∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．

∵點(diǎn)M（0，4）即OM=4，MP=2，

∴OP=2 ．

∵⊙M與OP相切于點(diǎn)P，⊙M與OQ相切于點(diǎn)Q，

∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．

∴OK⊥PQ，QK=PK．

∴PK= = = ．

∴OK= =3．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，3）

（2）解：如圖2，

設(shè)頂點(diǎn)為（0，6）的拋物線的解析式為y=ax2+6，

∵點(diǎn)P（ ，3）在拋物線y=ax2+6上，

∴3a+6=3．

解得：a=﹣1．

則該拋物線的解析式為y=﹣x2+6

（3）解：當(dāng)直線y=m與⊙M相切時，

則有 =2．

解得；m1=2，m2=6．

①m=2時，如圖3，

則有OH=2．

當(dāng)y=2時，解方程﹣x2+6=2得：x=±2，

則點(diǎn)C（2，2），D（﹣2，2），CD=4．

同理可得：AB=2 ．

則S梯形ABCD= （DC+AB）OH= （4+2 ）×2=4+2 ．

②m=6時，如圖4，

此時點(diǎn)C、點(diǎn)D與點(diǎn)N重合．

S△ABC= ABOC= ×2 ×6=6 ．

綜上所述：點(diǎn)A、B、C、D圍成的多邊形的面積為4+2 或6

【解析】（1）由切線的性質(zhì)可得∠MPO=90°，根據(jù)勾股定理可求出PO，然后由面積法可求出PK，然后運(yùn)用勾股定理可求出OK，就可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）可設(shè)頂點(diǎn)為（0，6）的拋物線的解析式為y=ax2+6，然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入就可求出拋物線的解析式．（3）直線y=m與⊙M相切有兩種可能，只需對這兩種情況分別討論就可求出對應(yīng)多邊形的面積．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用切線長定理和等腰三角形的性質(zhì)，掌握從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）即可以解答此題．